课时作业(11) 数学归纳法 (选学内容)（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十一) [基础达标练] 1．下面四个判断中，正确的是(　　 ) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时，原式＝1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时，原式＝1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时，原式＝＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析：选C　A．当n＝1时，原式＝1＋k，错误；B．当n＝1时，原式＝1，错误；C．当n＝1时，原式＝＋＋，正确；D．f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，错误．故选C． 2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　 ) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析：选C　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋．② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－ ＝－， 故Sk＋1＝Sk＋－． 3．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　 ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：选D　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D． 4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于____________． 解析：f(n＋1)－f(n)＝＋＋． 答案：＋＋ 5．用数学归纳法证明＋＋…＋>－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是______________． 解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项． 答案：＋＋…＋＋>－ 6．用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于________． 解析：由题意，当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2；所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6． 答案：6 7．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立， 即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2， 那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2． 这就是说，当n＝k＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立． 8．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝． 因为<，所以不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－＝1－<1－＝1－， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． [能力提升练] 9．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　 ) A．f(n)＋n＋1　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1．故应选C． 10．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题不成立的是(　　 ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解析：选ABC　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”． 11．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________． 解析：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝． 答案： 12．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1．所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________． 解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 答案：未用归纳假设 13．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy． (1)求f(0)的值； (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0． (2)f(1)＝1， f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4， f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9， f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16． (3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明． 当n＝1时，f(1)＝1满足条件． 假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2． [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，且当x∈时，f(x)≥． (1)求a的值； (2)设0<a1<，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<． 解：(1)由题意，知f(x)＝ax－x2＝－＋． 因为f(x)max≤，所以f(x)max＝f＝≤，所以a2≤1． 又当x∈时，f(x)≥， 所以即 解得a≥1． 又因为a2≤1，所以a＝1． (2)证明：由(1)知，f(x)＝x－x2． 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，0<a1<，显然原不等式成立． 因为当x∈时，0<f(x)≤，所以0<a2＝f(a1)≤<． 故当n＝2时，原不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0<ak<成立． 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝，所以当x∈时，f(x)为增函数． 由0<ak<≤，得0<f(ak)<f． 于是0<ak＋1＝f(ak)<－·＋－＝－<． 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 综合①②，知对任意n∈N*，不等式an<都成立． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$