课时作业(10) 数列求和（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十) [基础达标练] 1．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　) A．2100－101　　　　　 B．299－101 C．2100－99 D．299－99 解析：选A　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101． 2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　) A．11 B．99 C．120 D．121 解析：选C　∵an＝＝－， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1， 令－1＝10，得n＝120． 3．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：选A　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15． 4．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0 B．100 C．－100 D．10 200 解析：选B　由题意可得，当n为奇数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n－1； 当n为偶数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1． 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…a100)＝[－2×(1＋3＋5＋…＋99)－50]＋[2×(2＋4＋6＋…＋100)＋50]＝100，故选B． 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 020＝__________． 解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，① ∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1，② ①÷②得＝2． ∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S2 020＝＋＝3×21 010－3． 答案：3×21 010－3 6．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为________． 解析：∵等比数列{an}中， a1＝1，3a3＝2a2＋a4， ∴3q2＝2q＋q3．又∵q≠1，∴q＝2， ∴an＝2n－1，∴＝， 即是首项为，公比为的等比数列， ∴数列的前4项和为 ＝． 答案： 7．已知等比数列{an}各项都是正数，Sn为其前n项和，a3＝8，S3＝14． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{an－bn}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn． 解：(1)等比数列{an}中，a3＝8，S3＝14， 可列方程组 ∵{an}各项都是正数，∴q>0， 解得∴an＝2n． (2)由题意知an－bn＝3n－2， 即2n－bn＝3n－2， ∴bn＝2n－3n＋2． ∴Tn＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2． 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝11，S10＝100． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：(1)设该等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意可知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1． (2)由(1)得an＝2n－1， 所以bn＝(－1)n·＝(－1)n··， 所以Tn＝ ． 当n为奇数时，Tn＝； 当n为偶数时，Tn＝． 所以Tn＝－＋(－1)n [能力提升练] 9．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等比数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于(　　) A．1 033 B．1 034 C．2 057 D．2 058 解析：选A　由已知可得an＝n＋1， bn＝2n－1， 于是abn＝bn＋1， 因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033． 10．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　　) A． B． C．1 D． 解析：选B　∵对数函数y＝logax的图象过定点(1，0)，∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2，3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－， ∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B． 11．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，则S20＝(　　) A．31 B．122 C．324 D．484 解析：选B　∵an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)， ∴当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝n； 当n＝2k(k∈N*)时，an＝． ∴an＝ ∴a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，…． ∴S20＝(1＋3＋…＋19)＋ ＝＋×＝122．故选B． 12．若数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为__________． 解析：当n＝2k(k∈N*)时， a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1(k∈N*)时， a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2， ∴a2k＋3＋a2k＋1＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3， ∴a1＝a5＝…＝a61．∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830． 答案：1 830 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn． 解：(1)由题意知，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式， 所以an＝6n＋5． 设数列{bn}的公差为d． 由即 可解得所以bn＝3n＋1． (2)由(1)知 cn＝＝3(n＋1)·2n＋1， 则Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得 －Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3× ＝－3n·2n＋2， 所以Tn＝3n·2n＋2 [素养拓展练] 14．有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表)：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等．已知a24＝1，a42＝，a43＝． (1)求公比q； (2)用k表示a4k； (3)求a11＋a22＋…＋ann的值． 解：(1)因为每一行的数成等差数列，所以a42，a43，a44成等差数列，所以a44＝2a43－a42＝．又每一列的数成等比数列，故a44＝a24·q2，则q2＝＝．又an>0，所以q>0，故q＝． (2)由已知，第四行的数成等差数列，且公差d＝a43－a42＝． 因为a4k为此行中第k个数，所以a4k＝a42＋(k－2)d＝＋(k－2)·＝(k＝1，2，…，n)． (3)因为第k列的数成等比数列，且a4k为此列中第4个数，所以akk＝a4k·qk－4＝·＝k·(k＝1，2，…，n)． 设S＝a11＋a22＋…＋ann，则S＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，① S＝＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，② 由①－②，整理得S＝2－． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$