课时作业(9) 等比数列的前n项和（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(九) [基础达标练] 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　 ) A．93　　　　　　　　 B．－93 C．45 D．－45 解析：选A　S5＝＝＝93． 2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为(　　 ) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：选C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1． 因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15等于(　　 ) A．150 B．170 C．190 D．210 解析：选D　因为S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列， 所以(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即402＝10×(S15－50)，所以S15＝210． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　 ) A．190 B．191 C．192 D．193 解析：选C　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192． 5．(多选)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　 ) A．a1d>0 B．dS4<0 C．a1d<0 D．dS4>0 解析：选BC　∵在等差数列{an}中，a3，a4，a8成等比数列， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)⇒a1＝ －d， ∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d， ∴a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0，故选B、C． 6．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________． 解析：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数， 所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510． 答案：510 7．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3 的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 解：设数列{an}的公比为q(q≠0)， 由已知可得 所以 解②得q＝3或q＝1． 由于a1(q－1)＝2， 因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1． 所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝(n∈N*)． 8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝． (1)求等比数列{an}的公比q； (2)求a＋a＋…＋a． 解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－． 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－． (2)由(1)得an＝(－1)×， 所以a＝，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列． 故a＋a＋…＋a＝＝． [能力提升练] 9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　 ) A．或5 B．或5 C． D． 解析：选C　设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝． 10．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选B　设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，∴前n天所织布的尺数为(2n－1)． 由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8． 11．设数列{an}的前n项和为Sn，点 (n∈N*)均在直线y＝x＋上．若bn＝3an＋ ，则数列{bn}的前n项和Tn＝________． 解析：依题意得＝n＋， 即Sn＝n2＋n． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，所以an＝2n－(n∈N*)，则bn＝3an＋＝32n，由＝＝32＝9，可知{bn}为等比数列，b1＝32×1＝9，故Tn＝＝． 答案： 12．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析：由题意可知q＝2．设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24． 又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24， 即2n－1＋2n＝24， 解得n＝4，故项数为8． 答案：8 13．张先生2019年年底购买了一辆1．6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000 km就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1．8吨二氧化碳． (1)张先生估计第一年(即2020年)会用车12 000 km，以后逐年会增加1 000 km，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？ (2)若种植的林木第一年(即2020年)生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量？(参考数据：1．114≈3．797 5，1．115≈4．177 2，1．116≈4．595 0) 解：(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N*)， 则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…， 显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，所以S10＝10×4＋×＝55， 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨． (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N*)， 则b1＝1×1．8，b2＝1×(1＋10%)×1．8，b3＝1×(1＋10%)2×1．8，…， 其构成首项b1＝1．8，公比q＝1．1的等比数列， 记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝＝18×(1．1n－1)＞55，解得n≥15． 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量． [素养拓展练] 14．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝． (1)Sn为数列{an}的前n项和，证明： Sn＝； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log2an，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＝×＝， Sn＝＝，所以Sn＝． (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝ －(1＋2＋…＋n)＝－． 所以{bn}的通项公式为bn＝－． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$