5.3.2 第1课时 函数的极值（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．3．2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 学习目标 素养要求 1．了解极大值、极小值的概念． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3．会用导数求函数的极大值、极小值． 1．通过极值概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的极值 已知y＝f(x)的图象(如下图)． [问题1]　函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 答：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的． [问题2]　y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？ 答：f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0． [问题3]　在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 答：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正． ►知识填空 (1)极小值点与极小值： 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值： 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极值点与极值： 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．　　 知识点二　函数极值的求法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (2)导数为0的点一定是极值点．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) (4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：选C　设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． 3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A．(－1，2) B．(－3，6) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， 因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根， 那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3． 4．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________． 解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，y′<0，函数是减函数， 当－1<x<1时， y′>0，函数是增函数， 当x>1时，y′<0，函数是减函数， 所以当x＝－1时，函数有极小值． 当x＝1时，函数有极大值． 答案：1　－1 题型一　求函数的极值 [例 1]　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝－x3＋－6． 解：(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x＝1处有极小值，且y极小值＝－2． (2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1． 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)  极小值  无极值  所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6． 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内； (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．　　 　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝x2e－x． 解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R， 且f′(x)＝3x2－6x－9． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3． 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  10  －22  由表可知，x＝－1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－22． (2)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′ ＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x． 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0， 解得x＝0或x＝2． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  0  4e－2  因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)＝4e－2＝． 题型二　由极值求参数的值或取值范围 [例 2]　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝______，b＝______． (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得即 解得或 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去． 而当时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11． 答案：4　－11 (2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6． 因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在区间(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以 解得m>3．故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　　 　若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值． 解：∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6． ①当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f′(x)＞0得x＜或x＞2；由f′(x)＜0得＜x＜2． ∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去． ②当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0得x＜2或x＞6； 由f′(x)＜0得2＜x＜6． ∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32．即函数f(x)的极大值为32． 题型三　极值问题的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 解析： 令f′(x)＝3x2－3＝0，即(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0． 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a． 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知得 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2)． 用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．　　 1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？ 解：由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a， 若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0， 所以a＝－2或a＝2． 2．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝－2x－1， 因为当x＝0时，f(x)取得极值， 所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意． (2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln (x＋2)－x2－x＋b， 则g′(x)＝－2x－1＝－ (x>－2)． 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (－2，0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x)  2ln 2＋b  由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b． 如图，要使f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根， 只需 即 所以－2ln 2<b≤2－2ln 3． 故实数b的取值范围是(－2ln 2，2－2ln 3) [课堂小结] 　 根据可导函数极值的定义，可知： (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$