4.3.2 第2课时 数列求和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　数列求和 题型一　分组转化法求和 [例 1]　已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn． 解：(1)设数列{an}的公差为d， 则由得 解得 所以{an}的通项公式为an＝2n－1． (2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1． 当q>0且q≠1时，Sn＝ [1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋； 当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)． 所以数列{bn}的前n项和Sn＝ 分组转化法求和的常见类型 (1)an＝bn±cn，{bn}，{cn}为等差或等比数列． (2)an＝{bn}，{cn}为等差或等比数列． [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　　 　已知数列{an}的前n项和Sn＝， n∈N*． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n． a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n． (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn． 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n． 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2． 题型二　裂项相消法求和 [例 2]　已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn． 解：(1)设数列{an}的公比为q． 由a＝9a2a6得a＝9a， ∴q2＝． 由条件可知q>0，故q＝． 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1． 解得a1＝， ∴an＝． (2)∵an＝∴bn＝－log＝2n， ∴＝＝， ∴Tn＝ ＝＝． 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项处，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．　　 　设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且－＝1． (1)求Sn； (2)求数列的前n项和Tn． 解：(1)设数列的公差为d， 因为＝ ＝a1＋(n－1)， 所以为一个等差数列， 所以－＝＝1，所以d＝2， 故＝n，所以Sn＝n2． (2)因为＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝． 题型三　错位相减法求和 [例 3]　已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3． (1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn． 解：(1)设{an}的公比为q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0， 解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n． (2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1． 令cn＝，则cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋ － ＝＋－ ＝－， 所以Tn＝5－． 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)， 即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)， 且a2－a1＝1． ∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1． (2)由(1)知bn＝(n＋1)·3n，则 Tn＝2·3＋3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＋(n＋1)·3n，① 3Tn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋n·3n＋(n＋1)·3n＋1，② ①－②，得－2Tn＝2·3＋32＋33＋34＋…＋3n－(n＋1)·3n＋1＝3＋－(n＋1)·3n＋1＝·3n＋， ∴Tn＝·3n－． [课堂小结] 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想 1．转化思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； 2．不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$