4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

4．3．2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 学习目标 素养要求 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．能用等比数列前n项和解决简单的数列应用问题． 3．掌握等比数列及其前n项和的综合应用问题的解法． 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．通过等差、等比数列及前n项和的综合应用，提升数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的前n项和公式 [问题]　已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1． (1)若q＝1，则Sn与a1有何关系？ (2)若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ 答：(1)Sn＝na1． (2)能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝． ►知识填空 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ (1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两项情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化．　　 知识点二　等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)等比数列的前n项和不可以为0．(　　) (3)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na．(　　) (4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析：选D　因为q＝＝2，且a1＝2，所以S10＝＝＝2(210－1)＝211－2． 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　 　　　　　　　 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A　由S5＝＝44，得a1＝4． 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________，前n项和Sn＝ ________． 解析：∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q， ∴q＝2， ∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2． 答案：2　2n＋1－2 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算 [例 1]　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q． 解：(1)∵{an}为等比数列且a1＝1， a5＝16， ∴a5＝a1q4，∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去)． ∴S7＝＝＝127． (2)法一：由公式Sn＝， an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝． ∴189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3． 又∵2n－1＝＝32， ∴n＝6． 法二：由公式Sn＝及已知条件得189＝， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6． (3)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝， 解得q＝－(q＝1舍去)， ∴a1＝6． ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝． 综上得或 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．　　 1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C．1 D． 解析：选B　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，可得1－q20＝(1＋210)(1－q10)，即为1＋q10＝1＋210，解得q＝2． 2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6． 答案：6 题型二　等比数列前n项和的性质 [例 2]　(1)已知等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________． (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__________． 解析：(1)法一：因为数列{an}是等比数列， 所以有S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， 即S30－30＝40，即S30＝70． 法二：由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm， 得S20＝S10＋q10S10， 即30＝10＋10q10， 所以q10＝2． 所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70． (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2． 答案：(1)70　(2)2 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．　　 1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．　　 B．－　　　 C．　　　 D． 解析：选A　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝．所以a7＋a8＋a9＝． 2．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为__________． 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和性质知 ＝q＝， 所以Y＝20， 即S100＝X＋Y＝80． 答案：80 题型三　等比数列前n项和的实际应用问题 [例 3]　王老师在手机店买了一部手机，价值10 000元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为1%，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分6个月还清，试问每月应还款多少元？(1．016≈1．061，1．015≈1．051) 解：法一：设每个月还款a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还款a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1．01a0－a， a2＝1．01a1－a＝1．012a0－(1＋1．01)a， … a6＝1．01a5－a＝…＝1．016a0－[1＋1．01＋…＋1．015]a． 由题意，可知a6＝0， 即1．016a0－[1＋1．01＋…＋1．015]a＝0， ∴a＝． ∵1．016≈1．061， ∴a＝≈1 739． 故每月应还款1 739元． 法二：一方面，将10 000元以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0．01)6＝104×1．016(元)． 另一方面，设每个月还款a元，分6个月还清，到还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0．01)5＋a(1＋0．01)4＋…＋a ＝＝a[1．016－1]×102(元)． 由S1＝S2，得a＝．以下解法同法一，得a≈1 739，故每月应还款1 739元． 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中．　　 　受贸易战的影响，某电商平台今年销售某国产品牌手机5 000部，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000部？(结果保留到个位)(提示：lg 1．6≈0．20，lg 1．1≈0．041) 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1．1，Sn＝30 000．于是得到＝30 000． 整理，得1．1n＝1．6．两边取对数，得nlg 1．1＝lg 1．6． 根据提示算得n＝≈≈5(年)．即大约5年可以使总销售量达到30 000部． 题型四　等差数列、等比数列及前n项和的综合应用 [例 4]　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2． (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean． 解：(1)设{an}的公差为d． 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2． 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2． 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2． (2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2． 解决等差数列与等比数列综合问题(即双数列问题)的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系．注意运用等差数列与等比数列的基本量，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化．　　 　已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，a1，a3，a11成等比数列． (1)求an； (2)若bn＝2an，求{bn}的前n项和Tn． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由S7＝＝77可得7a4＝77，则a1＋3d＝11．① 因为a1，a3，a11成等比数列， 所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d． 又d≠0，所以2d＝3a1，② 联立①②，解得a1＝2，d＝3， 所以an＝3n－1． (2)因为bn＝2an＝23n－1＝4·8n－1， 所以{bn}是首项为4，公比为8的等比数列． 所以Tn＝＝． [课堂小结] 1．等比数列前n项和公式的有关运算 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．等比数列前n项和公式的运用误区 (1)求等比数列前n项和时，有时会忽视q≠1这一条件，直接使用公式Sn＝或Sn＝导致出错． (2)对于公比q是否等于1不明确时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，避免解答出现漏洞． 3．等比数列前n项和中用到2个数学思想 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． (2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则 Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$