4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．3　等比数列 4．3．1　等比数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第2课时　等比数列的性质及应用 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（八） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 等比 ak＋1 等比 qk 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 ak·al 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (八) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．在理解等比数列定义和通项公式的基础上，探索并发现等比数列的性质． 2．理解等比数列的性质并能简单应用． 3．掌握等比数列的性质并能综合应用． 1．通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．借助等比数列解决实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为____数列，首项为______，公比为__；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为____数列，公比为_____． 3．常用等比数列的性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝___________． (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝______． (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列． (4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an·bn))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(|an|))仍是等比数列，且公比分别为eq \f(1,q1)，q1q2，eq \f(q2,q1)，|q1|． (6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…． aeq \o\al(2,k) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q>1时，{an}为递增数列．(　　) (2)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) (3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap．(　　) (4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× (4)×　提示：反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列． 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 答案：eq \f(1,2) 3．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(　　) A．24　　　　　　　　 B．30 C．54 D．108 解析：选C　由aeq \o\al(2,8)＝a4a12，得a12＝2,8)eq \f(a,a4) ＝54． 4．已知等比数列{an}中，a2＝4，a7＝eq \f(1,16)，则a3a6＋a4a5的值是________． 解析：a3a6＋a4a5＝a2a7＋a2a7＝2a2a7＝2×4×eq \f(1,16)＝eq \f(1,2)． 题型一　等比数列的性质 [例 1]　(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n　　　　　　 B．n10 C．100n D．n100 (2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于__________． 解析：(1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则a2·a3·…·an＋1＝＝10n． (2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265， 所以a3a8＝213， 又因为a3＝16＝24，所以a8＝29． 因为a8＝a3·q5，所以q＝2． 所以a7＝eq \f(a8,q)＝256． 答案：(1)A　(2)256 利用等比数列的性质解题的基本思路 (1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．此时，常利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． [提醒]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件． 　　 1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7　　　　　　　　 B．5 C．－5 D．－7 解析：选D　因为数列{an}为等比数列， 所以a5a6＝a4a7＝－8，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，)) 所以q3＝－eq \f(1,2)或q3＝－2， 故a1＋a10＝eq \f(a4,q3)＋a7·q3＝－7． 2．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq \f(15,8)，a8a9＝－eq \f(9,8)，则eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝________． 解析：因为eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a10,a7a10)，eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＝eq \f(a8＋a9,a8a9)，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq \f(15,8)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)))＝－eq \f(5,3)． 答案：－eq \f(5,3) 题型二　等差、等比数列的综合应用 [例 2]　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn． 解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)． 又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1． 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1． (2)设{bn}的公差为d， 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d． 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2． 解得d1＝2，d2＝－10． ∵等比数列{bn}的各项为正， ∴d>0，∴d＝2．Tn＝3n＋eq \f(n（n－1）,2)×2＝n2＋2n． 等差数列与等比数列的异同 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一． (1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值． 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)公差与公比都必须是常数； (3)数列都可以由a1，d或a1，q确定． 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列． 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81． (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn． 解：(1)设{an}的首项为a1，公比为q，依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝3，,a1q4＝81，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))因此an＝3n－1． (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(n（b1＋bn）,2)＝eq \f(n2－n,2)． 题型三　等比数列的实际应用 [例 3]　某工厂2021年1月的生产总值为a万元，计划从2021年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2022年8月底该厂的生产总值为多少万元？ 解：设从2021年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元， 则an＋1＝an＋anm%， ∴eq \f(an＋1,an)＝1＋m%． ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1． ∴2022年8月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19 (万元)． 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： (1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解； (2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　　 某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13．5，a2＝13．5(1－10%)， a3＝13．5(1－10%)2，…． 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13．5，公比q＝(1－10%)＝0．9， ∴an＝a1·qn－1＝13．5×0．9n－1． ∴第n年车的价值为an＝13．5×0．9n－1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13．5×0．95－1≈8．857． ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8．857万元． [课堂小结] 1．掌握解决等比数列问题的2种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量． (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到． 2．解题过程应注意1种思想与1个技巧 (1)转化思想：将非等差、等比数列通过构造转化成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． $$