4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．3　等比数列 4．3．1　等比数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第1课时　等比数列的概念与通项公式 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（七） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 同一个常数 公比 q 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 等比数列 ab 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 a1qn－1 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (七) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．熟练掌握等比数列的判定方法． 1．通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过等比数列的判定与证明，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的定义 观察下面几个数列： (1)4，－4，4，－4，…； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263； (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利计算，5年内各年末的本利和依次为10 000×1．05，10 000×1．052，…，10 000×1．055． [问题1]　上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ [问题2]　这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？ 答：不是． 答：都等于同一个常数． ►知识填空 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，通常用字母__ (q≠0)表示． eq \a\vs4\al([点睛]) (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉； (2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数．　　 知识点二　等比中项 [问题]　观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项之间有何关系？ ►知识填空 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，此时，G2＝_____． 答：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． 知识点三　等比数列的通项公式 [问题]　若数列{an}为等比数列，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？ ►知识填空 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝________． 答：an＝a1qn－1． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)常数列一定为等比数列．(　　) (3)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 解析：选AC　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，故不是等比数列，D错． 3．若等比数列的首项为eq \f(9,8)，末项为eq \f(1,3)，公比为eq \f(2,3)，则这个数列的项数为(　　) A．3　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：选B　∵eq \f(1,3)＝eq \f(9,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)， ∴eq \f(8,27)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)， ∴n－1＝3，∴n＝4． 4．45和80的等比中项为________． 解析：设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80， ∴G＝±60． 答案：－60或60 题型一　等比数列通项公式的基本计算 [例 1]　在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an． 解：(1)由等比数列的通项公式得 a6＝3×(－2)6－1＝－96． (2)设等比数列的公比为q， 那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.)) 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 1．(求通项公式)已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 023等于(　　) A．2 020　　　　　　 B．2 021 C．2 022 D．2 023 解析：选C　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝ 3n－1，则log3a2 023＝log332 022＝2 022． 2．(求公比)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．0　　　　　　　 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 解析：选C　设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0．由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2． 3．(求项数)在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：选D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7． 题型二　等比数列的判定与证明 [例 2]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2； 当n＝1时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,2＋a)． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． 判断一个数列{an}是等比数列的方法 定义法 若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列 等比中项法 对于数列{an}，若aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”，求证数列{an}是等比数列． 证明：∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝eq \f(1,2)an． 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0， ∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，∴{an}是等比数列． 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，(n∈N*)． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0， 所以eq \f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n． 题型三　灵活设项求解等比数列 [例 3]　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－eq \f(3,2)，则此4个数为____________． 解析：设此4个数为a，aq，aq2，aq3． 则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－eq \f(3,2)，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－eq \f(1,4)q＋1＝0，此方程无解； 当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋eq \f(17,4)q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－eq \f(1,4)． 当q＝－4时，a＝－eq \f(1,8)； 当q＝－eq \f(1,4)时，a＝8． 所以这4个数为8，－2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,8)或－eq \f(1,8)，eq \f(1,2)，－2，8． 答案：8，－2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,8)或－eq \f(1,8)，eq \f(1,2)，－2，8 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d；若三数成等比数列，常设成eq \f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2． (2)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；若四个数成等比数列，可设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3(只适合数列的各项同正或同负)或eq \f(a,q)，a，aq，aq2．　　 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 解：由题意设此四个数为eq \f(b,q)，b，bq，a， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2).)) 所以这四个数为1，－2，4，10或－eq \f(4,5)，－2，－5，－8． [课堂小结] 1．判断一个数列是否是等比数列的技巧 利用定义法来判断数列是否是等比数列需从以下三个方面把握：(1)从第二项起；(2)每一项与前一项的比；(3)同一个常数，即eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． 2．应用等比中项的两个注意点 (1)若b2＝ac且ac≠0，则a，b，c成等比数列．这里要注意条件ac≠0；若只有条件b2＝ac，我们得不到a，b，c成等比数列的结论． (2)对于数列{an}，若aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．这也是证明数列{an}是等比数列的方法． 3．等比数列通项公式的应用 (1)由a1和q可求等比数列的任意一项． (2)已知a1，q，an，n中的三个量，可求另外一个量． (3)验证某数是否为等比数列的项． $$