4.2.1 第2课时 等差数列的性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．2　等差数列 4．2．1　等差数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第2课时　等差数列的性质 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（四） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 as＋at 和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 等差 d cd 2d pd1＋qd2 递增 递减 常数列 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (四) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题． 1．通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助等差数列解决实际问题，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列的性质 给出以下3个等差数列： (1)1，4，7，10，13，…，公差为3． (2)－2，－4，－6，－8，－10，…，公差为－2． (3)3，3，3，3，3，…，公差为0． [问题1]　 针对上述3个等差数列观察分析：等差数列中的奇数项构成的数列是否为等差数列？偶数项呢？所有下标构成等差数列的项呢？ 答：奇数项、偶数项、下标成等差数列的项构成的数列均为等差数列． [问题2]　在数列(1)中，请你计算a1＋a5，a2＋a4，它们有何关系？在(2)(3)中是否也有这样的关系？ [问题3]　针对数列(1)，我们计算了a1＋a5与a2＋a4的值，它们和a3的关系是什么？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ 答：a1＋a5＝a2＋a4，在(2)(3)中也有这种关系． 答：a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，在(2)(3)中也满足这种关系． ►知识填空 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数p，q，s，t满足p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝_________． ①特别地，当p＋q＝2k(m，n，k∈N*)时，ap＋aq＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为___的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_____的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为______________的等差数列． (5)若等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为____数列；d<0⇔{an}为____数列；d＝0⇔{an}为_______． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列．(　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2．(　　) 答案：(1)× (2)×　提示：反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列． (3)√ 2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．20 C．100 D．不确定 解析：选A　因为a100－a90＝10d， 即120－100＝10d，所以d＝2． 3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：D 4．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________． 解析：由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1． 答案：－1 题型一　等差数列的性质 [例 1]　(1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值为__________． (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　　　　　 B．27 C．24 D．16 解析：(1)法一：根据等差数列通项公式得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＋(a1＋6d)＝5a1＋20d＝450， ∴a1＋4d＝90． ∴a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝180． 法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5． ∴5a5＝450．∴a5＝90． ∴a2＋a8＝2a5＝180． (2)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5． ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． 答案：(1)180　(2)C 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．　　 在等差数列{an}中： (1)若a7＝m，a14＝n，则a21＝________． (2)若a1＋a3＋a5＝－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________． 解析：(1)∵a7，a14，a21成等差数列， ∴a7＋a21＝2a14， ∴a21＝2a14－a7＝2n－m． (2)∵a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3 ＝2a3＋a3＝3a3＝－1， ∴a3＝－eq \f(1,3)， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－eq \f(5,3)． 答案：(1)2n－m　(2)－eq \f(5,3) 题型二　灵活设元求解等差数列 [例 2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝9，,（a－d）a＝6（a＋d），)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－1.)) ∴这三个数为4，3，2． (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4． 法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－eq \f(3,2)d代入a(a＋3d)＝－8， 得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)d)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)d))＝－8，即1－eq \f(9,4)d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或－2． 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝2，a＝－2． 故所求的四个数为－2，0，2，4． 常见的设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d．　　 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 由题设知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，,（a－d）（a＋d）＝40，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).)) ∴这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2． 题型三　等差数列的eq \a\vs4\al([反思感悟])实际应用 [例 3]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 　　　　　 甲　　　 　　　乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解析：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn． (1)由a1＝1，a6＝2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋5d1＝2，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d1＝0.2，))得a2＝1．2． 由b1＝30，b6＝10，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,d2＝－4，))得b2＝26． ∴c2＝a2b2＝1．2×26＝31．2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31．2万只． (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 解答数列实际应用问题的基本步骤 中国历法推测遵循以算为主，以测为辅的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．1eq \f(4,6)寸表示115寸1eq \f(4,6)分(1寸＝10分)． 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分(秋分) 晷影长 /寸 135．0 125．eq \f(5,6) 115．1eq \f(4,6) 105．2eq \f(3,6) 95．3eq \f(2,6) 85．4eq \f(1,6) 75．5 节气 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影长 /寸 65．5eq \f(5,6) 55．6eq \f(4,6) 45．7eq \f(3,6) 35．8eq \f(2,6) 25．9eq \f(1,6) 16．0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为(　　) A．105．6寸　　　　　　 B．48寸 C．57．6寸 D．67．2寸 解析：选C　设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130．0，a13＝14．8，则d＝eq \f(a13－a1,13－1)＝－9．6，故小寒与清明之间的晷影长之差为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57．6． [课堂小结] 1．记牢等差数列的常见性质 (1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用． (2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq． 特别地：若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak． 2．熟记等差数列实际应用的步骤． 3．注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． $$