第06课：21.3实际问题与一元二次方程（1）讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第06课 第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（1）人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪 些是未知量以及它们之间的等量关系. （2）设：是指设元，也就是设出未知数. （3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1±x)2=b （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 考点01 数字问题 例题1.一个两位数，个位数字与十位数字之和为，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的平方小，求原来的两位数． 【答案】解：设这个两位数的个位为，则十位数为：， 则， 解得：，不合题意舍去， 答：原来的两位数是．  【解析】直接假设出个位为，十位数为：，进而表示出两数，进而得出等式求出答案． 此题主要考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数十位数字个位数字． 变式1（1）.小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大，个位数字的平方与十位数字的平方的和为，求这个两位数． 【答案】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为根据题意，得，解得，不合题意，舍去这个两位数是答：这个两位数是．  变式1（2）.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为，依题意，得，整理得，解得，舍去，，，即这个两位数是．  变式1（3）.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，求原来的两位数． 【答案】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 解这个方程得，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是或． 答：原来的两位数是或．  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握两位数的表示方法是解题的关键． 设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，可列出方程求解． 变式1（4）.一个两位数的个位数字与十位数字的和为，并且个位数字与十位数字的平方和为，求这个两位数． 【答案】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为根据题意，得，解得，当时，这个两位数为；当时，这个两位数为答：这个两位数为或．  变式1（5）.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大，且个位上的数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】或  变式1（6）.一个两位数等于它的个位上的数字的倍的平方，且它的个位上的数字比十位上的数字小，求这个两位数． 【答案】解：设个位数字为，则十位上的数字是则 ， 整理，得 ， 即， 解得，不合题意，舍去， 则， 故这两位数是． 答：这个两位数是．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用． 可设个位数字为，则十位上的数字是，根据等量关系“一个两位数等于它的个位上的数字的倍的平方”列方程解答即可． 变式1（7）.已知一个两位数，十位数字与个位数字的和为，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数大，求这个两位数． 【答案】解：设十位数为，个位数为，则这个两位数可表示为，由题意，建立方程组得： ， 解得， 原来的两位数为． 【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用的知识点，解题关键点是熟练掌握两位数十位数字个位数字先设个位为，十位数为：，进而表示出两数，进而得出等式求出答案． 考点02 增长率问题 例题2. 近日，市教育局出台中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导．据统计，第一批公益课受益学生万人次，第三批公益课受益学生万人次． 如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【答案】解：设增长率为，根据题意，得 ， 解得舍去，． 答：增长率为． 万人． 答：第四批公益课受益学生将达到万人次．  【解析】设增长率为，根据“第一批公益课受益学生万人次，第三批公益课受益学生万人次”可列方程求解； 用增长率，计算即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 变式2（1）.刘师傅开了一家商店，今年月份盈利元，月份的盈利达到元，且从月到月，每个月盈利的增长率相同． 求每个月盈利的增长率； 按照这个增长率，请你估计这家商店月份的盈利将达到多少元？ 【答案】解：设每个月盈利的增长率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：每个月盈利的增长率为． 元． 答：按照这个增长率，估计这家商店月份的盈利将达到元．  【解析】设每个月盈利的增长率为，利用月份的盈利金额月份的盈利金额增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出每个月盈利的增长率为； 利用这家商店月份的盈利金额这家商店月份的盈利金额增长率，即可估计出这家商店月份的盈利将达到元． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式2（2）.某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产万个，第三天生产万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： 求每天增长的百分率． 经调查发现，条生产线的最大产能是万个天，每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个天． 现该厂要保证每天生产口罩万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下生产线越多，投入越大，应该增加几条生产线？ 是否能增加生产线，使得每天生产口罩万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】(1)设每天增长的百分率为x，依题意，得500（1＋x）2＝720，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%．  (2)①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500－50m）万个/天，依题意，得（1＋m）（1500－50m）＝6500，解得m1＝4，m2＝25．又∵在增加产能的同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线． ②不能，理由：设应该增加a条生产线，依题意，得（1＋a）（1500－50a）＝15000，化简得a2－29a＋270＝0，∵Δ＝（－29）2－4×1×270＝－239<0，∴方程无实数根．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．   变式2（3）.随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万，月游客人数为万． 求月和月这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 预计月该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月后天日均接待游客人数最多是多少万？ 【答案】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x．由题意，得1.6（1＋x）2＝2.5，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不合题意，舍去）．∴这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%  (2)设5月后10天日均接待游客人数为a万．由题意，得2.125＋10a≤2.5×（1＋25%），解得a≤0.1．∴5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万  变式2（4）.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇年实现旅游收入万元，到年该项收入达到万元，且从年到年，每年旅游收入的年增长率相同． 求旅游收入的年增长率； 若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计年的旅游收入． 【答案】(1)设旅游收入的年增长率为.依题意，得，解得，（不合题意，舍去）.旅游收入的年增长率为  (2)（万元）.预计2025年的旅游收入为2592万元  考点03 下降率问题 例题3.随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的元下降到现在的元，求年平均下降率． 【答案】解：设年平均下降率为， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：年平均下降率为．  【解析】设年平均下降率为，根据生产该产品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式3（1）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司，，月每个月生产成本的下降率都相同． 求每个月生产成本的下降率； 请你预测月份该公司的生产成本． 【答案】(1)解：设每个月生产成本的下降率为，根据题意，得，解得，（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%；  (2)（万元）.答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.  变式3（2）.受全国生猪产能下降的影响，猪肉价格持续上涨，某超市猪肉月份平均价格为元斤，月份平均价格为元斤，求该超市猪肉价格平均每月增长的百分率． 【答案】解：设、两个月猪肉价格的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得，舍去． 答：该超市猪肉价格平均每月增长的百分率是．  【解析】等量关系为：月初猪肉价格增长率月的猪肉价格． 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解等量关系，难度不大． 变式3（3）.某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降，转型成功后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，求三、四月份的平均增长率． 【答案】解：设三、四月份的平均增长率是，一月份产值为根据题意得 ， 解得，不合题意，舍去． 答：三、四月份的平均增长率为．  【解析】此题可以设三、四月份的平均增长率是，一月份产值为根据题意得到二月份的产值是，在此基础上连续增长，则四月份的产量是，则根据四月份比一月份增长列方程求解． 此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 变式3（4）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元．假设该公司在月份每个月生产成本的下降率都相同，请你预测月份该公司的生产成本． 【答案】解：设每个月生产成本的下降率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 万元． 答：预测月份该公司的生产成本为万元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设每个月生产成本的下降率为，根据月份、月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，解之求得下降率，由月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本下降率，即可得出结论． 变式3（5）.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由元平方米，下降到元平方米． 求房价年平均下降率； 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】解：设房价年平均下降率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：房价年平均下降率为． 元． 答：下一年该市的平均房价约为每平方米元．  【解析】设房价年平均下降率为，利用经过两年降价后的房价原房价年平均下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 利用下一年该市的平均房价年平均下降率，即可预计出下一年该市的平均房价． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算． 变式3（6）.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年月分的元下降到月分的元 问、两月平均每月降价的百分率是多少？ 如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到月分该市的商品房成交均价是否会跌破元？请说明理由。 【答案】解：设两月平均每月降价的百分率是，根据题意得： ， ， 解得：，不合题意，舍去． 答：、两月平均每月降价的百分率是； 不会跌破元． 如果按此降价的百分率继续回落，估计月份该市的商品房成交均价为： ． 由此可知月份该市的商品房成交均价不会跌破元．  【解析】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 设、两月平均每月降价的百分率是，那么月份的房价为，月份的房价为，然后根据月份的元即可列出方程解决问题； 根据的结果可以计算出月份商品房成交均价，然后和元进行比较即可作出判断． 变式3（7）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元． 假设该公司、、月每个月生产成本的下降率都相同． 求每个月生产成本的下降率； 请你预测月份该公司的生产成本． 【答案】解：设每个月生产成本的下降率为， 根据题意，得， 解得，不合题意，舍去． 答：每个月生产成本的下降率为． 万元． 答：预测月份该公司的生产成本为万元． 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算． 设每个月生产成本的下降率为，根据月份、月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； 由月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本下降率，即可得出结论． 考点04 图形面积问题 例题4.某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 【答案】解：设人行通道宽为，依题意，得 ， 解得：，舍去． 答：人行通道的宽度为．   变式4（1）.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为，宽，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽． 【答案】解：设正中央的矩形宽为，则长为， 依题意，得， 解得，不符合题意，舍去，． 答：左、右边衬的宽为．   变式4（2）.如图，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度 【答案】解：设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为， 依题意得， 整理得，解得，， 当时，，不合题意，舍去 当时，，符合题意， ， ． 答：每个横彩条的宽度为，每个竖彩条的宽度为．  【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，根据设计的图案宽、长，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：，彩条所占面积是图案面积的，列出方程求解即可． 变式4（3）.如图，某市近郊有一块长为米，宽为米的长方形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形其中三个长方形的一边长均为米区域将铺设塑胶地面作为运动场地． 设通道的宽度为米，则          用含的代数式表示 若塑胶运动场地总占地面积为平方米，那么通道的宽度为多少米 【答案】解：设通道的宽度为米，则； 故答案为： 根据题意得，， 解得，不合题意，舍去． 答：中间通道的宽度为米．  【解析】根据通道宽度为米，表示出即可； 根据长方形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 变式4（4）.如图，有一幅长、宽的长方形图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为设竖彩条的宽度为，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【答案】解：由题意知，横彩条宽度为，列方程，得解得，舍去，，答：竖彩条宽，横彩条宽．  变式4（5）.如图，把长为，宽为的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积阴影部分是原来铁片面积的一半，求盒子的高． 【答案】解：设盒子的高为，依题意，得   解得，不合题意，舍去  答：盒子的高为．  变式4（6）.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面正中间铺一块面积为的地毯，且四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度． 【答案】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度为，则地毯的长为，宽为  由题意，得  解得，  又，  答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是．  变式4（7）.如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 【答案】解：设人行通道的宽度是， 列方程得，解得，舍去． 答：人行通道的宽度是．  变式4（8）.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的倍如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽是多少？ 【答案】  考点05 靠墙围栅栏问题 例题5.如图，用一段的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个宽的门，墙的最大可用长度为． 如果羊圈的总面积为，求边的长； 请问羊圈的总面积能为吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：设边AB的长为x m，则AD的长为(80-4x)m．根据题意，得x(80-4x)＝300，解得x1＝5，x2＝15．当x＝5时，80-4x＝80-4×5＝60(m)，不符合题意，舍去；当x＝15时，80-4x＝20＜30，符合题意．答：边AB的长为15 m．  (2)不能．理由如下：根据题意，得x(80-4x)＝440．整理，得x2-20x+110＝0．∵Δ＝(-20)2-4×1×110＝-40＜0，∴此方程无实数根．∴羊圈的总面积不能为440 m2．  变式5（1）.如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 【答案】设矩形垂直于墙的一边的长为． 由题意得，，整理得，，解得，，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：矩形垂直于墙的一边的长为．   变式5（2）.【教材变式】如图，利用一面墙墙的长度不限，用长的篱笆，围成一个矩形场地． 若矩形场地的面积为，求矩形场地的长和宽； 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)设矩形场地的竖宽为x m，则横长为（20－2x）m， 根据题意，得x（20－2x）＝50， 即x2－10x＋25＝0，x1＝x2＝5． 答：长为10 m，宽为5 m；   (2)由x（20－2x）＝60，得x2－10x＋30＝0， ∴Δ＝－20＜0，此方程无实数解， 故不能围成一个面积为60 m2的矩形场地．   变式5（3）.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园如图，生态园一面靠墙墙足够长，另外三面用长为的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】解：生态园的面积能为理由如下：四边形是矩形，，设，则根据题意，得，整理，得解得，答：的长为或．  变式5（4）.如图，利用一面墙墙的长度不限，另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长为． 若围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽． 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)设垂直于墙的边的长为，则平行于墙的边的长为.依题意，得.整理，得，解得..矩形场地的长为，宽为  (2)不能理由：设垂直于墙的边的长为，则平行于墙的边的长为.依题意，得.整理，得.，该方程无实数根.不能围成一个面积为的矩形场地.  变式5（5）.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． 矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ 鸡舍面积能否达到？ 【答案】(1)解：设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为x m， 则矩形鸡舍平行于墙的一边长为（26－2x）m． 依题意，得x（26－2x）＝80，解得x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，26－2x＝16＞12（不合题意，舍去）， 当x＝8时，26－2x＝10＜12． 答：矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m；   (2)假设鸡舍面积为86 m2，则x（26－2x）＝86，整理，得 x2－13x＋43＝0． ∵Δ＝b2－4ac＝－3＜0， ∴方程无实数解． 答：所围鸡舍面积不能为86 m2． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某商店今年月份的销售额为万元，月份的销售额为万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可列出方程． 此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 3.一个两位数，十位数字与个位数字之和为，且这两个数字之积等于它们两个数字和的倍，这个两位数是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：设十位数字为，个位数字为，由题意得 ， 解得，， 则或， 答：这个两位数是或． 故选：． 设十位数字为，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的倍列方程求出其解即可． 此题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 4.如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.如图，某农场拟建一间面积为平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙假设墙足够长，另三面用总长米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为米，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.某新建工业园区今年月提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计月将提供岗位个设月、月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为          ． 【答案】  7.两年前生产药品的成本是元，现在生产药品的成本是元，则药品成本的年平均下降率是          ． 【答案】  【解析】解：设药品成本的年平均下降率是， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 因此，药品成本的年平均下降率是． 故答案为． 设药品成本的年平均下降率是，根据现在生产药品的成本两年前生产药品的成本下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题的数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 8.一个两位数，个位数字比十位数字大，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是          ． 【答案】或  【解析】解：设个位数字为，则十位数字为，这个两位数是依题意，得，整理，得，解得，，或答：这个两位数是或． 9.如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的部分种上草．要使草坪的面积为，道路的宽应是多少？ 设路宽为，列方程得：          ． 【答案】  10.如图，要利用一面墙墙长建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长           【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.李师傅去年开了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份盈利元．求从月到月，每月盈利的平均增长率． 【答案】解：设从月到月，每月盈利的平均增长率为，  依题意，得，  解得，不合题意，舍去  答：从月到月，每月盈利的平均增长率为．  12.某商店今年五月份的营业额为万元，六月份的营业额比五月份增加了，但由于经营不当，八月份的营业额下降为万元．求该商店七月份和八月份平均下降的百分率？ 【答案】解：七、八月份营业额的月平均增长率为， 依题意列方程：， 解方程得：，舍去 答：平均增长率为．  【解析】本题既有增长率，又有下降率，六月份的营业额比五月份增加了，六月份营业额是万元，七，八月份连续下降两次，基数是六月份的营业额．用增长率的模型解题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，注意七、八月份增长的基数是六月份的营业额．用增长率下降率的模型列方程． 13.一个两位数的个位数字与十位数字的和为，并且个位数字与十位数字的平方和为，求这个两位数． 【答案】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为根据题意，得，解得，当时，这个两位数为；当时，这个两位数为答：这个两位数为或．  14.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． 用含的代数式表示平行于墙的一边的长为          ，的取值范围为          ； 当这个苗圃园的面积为时，求的值． 【答案】(1)（30-2x） ;6≤x＜15  (2)根据题意，得x（30-2x）＝88，解得x1＝4，x2＝11．∵6≤x＜15，∴x＝4不符合题意，舍去．∴x的值为11．  15.某校准备在一块长为米、宽为米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路的宽度为米 花园内的小路面积为          平方米用含的代数式表示； 若草坪的面积为平方米，求此时小路的宽度． 【答案】(1)  (2)依题意，得，整理，得，解得，（不合题意，舍去）.此时小路的宽度为1米  【解析】  小路的宽度为米，亭子的边长是小路宽度的倍，亭子的边长是米花园内的小路面积为平方米  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06课 第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（1）人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪 些是未知量以及它们之间的等量关系. （2）设：是指设元，也就是设出未知数. （3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1±x)2=b （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 考点01 数字问题 例题1.一个两位数，个位数字与十位数字之和为，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的平方小，求原来的两位数． 变式1（1）.小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大，个位数字的平方与十位数字的平方的和为，求这个两位数． 变式1（2）.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 变式1（3）.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，求原来的两位数． 变式1（4）.一个两位数的个位数字与十位数字的和为，并且个位数字与十位数字的平方和为，求这个两位数． 变式1（5）.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大，且个位上的数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数． 变式1（6）.一个两位数等于它的个位上的数字的倍的平方，且它的个位上的数字比十位上的数字小，求这个两位数． 变式1（7）.已知一个两位数，十位数字与个位数字的和为，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数大，求这个两位数． 考点02 增长率问题 例题2. 近日，市教育局出台中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导．据统计，第一批公益课受益学生万人次，第三批公益课受益学生万人次． 如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 变式2（1）.刘师傅开了一家商店，今年月份盈利元，月份的盈利达到元，且从月到月，每个月盈利的增长率相同． 求每个月盈利的增长率； 按照这个增长率，请你估计这家商店月份的盈利将达到多少元？ 变式2（2）.某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产万个，第三天生产万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： 求每天增长的百分率． 经调查发现，条生产线的最大产能是万个天，每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个天． 现该厂要保证每天生产口罩万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下生产线越多，投入越大，应该增加几条生产线？ 是否能增加生产线，使得每天生产口罩万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．   变式2（3）.随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万，月游客人数为万． 求月和月这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 预计月该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月后天日均接待游客人数最多是多少万？ 变式2（4）.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇年实现旅游收入万元，到年该项收入达到万元，且从年到年，每年旅游收入的年增长率相同． 求旅游收入的年增长率； 若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计年的旅游收入． 考点03 下降率问题 例题3.随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的元下降到现在的元，求年平均下降率． 变式3（1）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司，，月每个月生产成本的下降率都相同． 求每个月生产成本的下降率； 请你预测月份该公司的生产成本． 变式3（2）.受全国生猪产能下降的影响，猪肉价格持续上涨，某超市猪肉月份平均价格为元斤，月份平均价格为元斤，求该超市猪肉价格平均每月增长的百分率． 变式3（3）.某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降，转型成功后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，求三、四月份的平均增长率． 变式3（4）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元．假设该公司在月份每个月生产成本的下降率都相同，请你预测月份该公司的生产成本． 变式3（5）.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由元平方米，下降到元平方米． 求房价年平均下降率； 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 变式3（6）.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年月分的元下降到月分的元 问、两月平均每月降价的百分率是多少？ 如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到月分该市的商品房成交均价是否会跌破元？请说明理由。 变式3（7）.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元． 假设该公司、、月每个月生产成本的下降率都相同． 求每个月生产成本的下降率； 请你预测月份该公司的生产成本． 考点04 图形面积问题 例题4.某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．  变式4（1）.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为，宽，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．   变式4（2）.如图，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度 变式4（3）.如图，某市近郊有一块长为米，宽为米的长方形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形其中三个长方形的一边长均为米区域将铺设塑胶地面作为运动场地． 设通道的宽度为米，则          用含的代数式表示 若塑胶运动场地总占地面积为平方米，那么通道的宽度为多少米 变式4（4）.如图，有一幅长、宽的长方形图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为设竖彩条的宽度为，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 变式4（5）.如图，把长为，宽为的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积阴影部分是原来铁片面积的一半，求盒子的高． 变式4（6）.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面正中间铺一块面积为的地毯，且四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度． 变式4（7）.如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 变式4（8）.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的倍如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽是多少？ 考点05 靠墙围栅栏问题 例题5.如图，用一段的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个宽的门，墙的最大可用长度为． 如果羊圈的总面积为，求边的长； 请问羊圈的总面积能为吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 变式5（1）.如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 变式5（2）.【教材变式】如图，利用一面墙墙的长度不限，用长的篱笆，围成一个矩形场地． 若矩形场地的面积为，求矩形场地的长和宽； 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．  变式5（3）.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园如图，生态园一面靠墙墙足够长，另外三面用长为的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 变式5（4）.如图，利用一面墙墙的长度不限，另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长为． 若围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽． 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 变式5（5）.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． 矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？鸡舍面积能否达到？ 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某商店今年月份的销售额为万元，月份的销售额为万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是(    ) A. B. C. D. 2.年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一个两位数，十位数字与个位数字之和为，且这两个数字之积等于它们两个数字和的倍，这个两位数是(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 5.如图，某农场拟建一间面积为平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙假设墙足够长，另三面用总长米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为米，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.某新建工业园区今年月提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计月将提供岗位个设月、月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为          ． 7.两年前生产药品的成本是元，现在生产药品的成本是元，则药品成本的年平均下降率是          ． 8.一个两位数，个位数字比十位数字大，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是          ． 9.如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的部分种上草．要使草坪的面积为，道路的宽应是多少？ 设路宽为，列方程得：          ． 10.如图，要利用一面墙墙长建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长           三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.李师傅去年开了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份盈利元．求从月到月，每月盈利的平均增长率． 12.某商店今年五月份的营业额为万元，六月份的营业额比五月份增加了，但由于经营不当，八月份的营业额下降为万元．求该商店七月份和八月份平均下降的百分率？ 13.一个两位数的个位数字与十位数字的和为，并且个位数字与十位数字的平方和为，求这个两位数． 14.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． 用含的代数式表示平行于墙的一边的长为          ，的取值范围为          ； 当这个苗圃园的面积为时，求的值． 15.某校准备在一块长为米、宽为米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路的宽度为米 花园内的小路面积为          平方米用含的代数式表示； 若草坪的面积为平方米，求此时小路的宽度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$