课时作业27 抛物线及其标准方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十七)　抛物线及其标准方程 [基础达标练] 1．若抛物线x2＝4y上的一点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．3 D．4 解析：选D　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线定义可知，5＝n＋1，即n＝4. 2．若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝(　　) A．± B．± C．±4 D．±8 解析：选A　抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－， 由题意，可得＝2.解得m＝±. 3．已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－1|，则点P的轨迹为(　　) A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 解析：选B　方程5 ＝|3x＋4y－1|可化为＝.由于点(1,2)不在直线3x＋4y－1＝0上，满足抛物线的定义，则点P的轨迹为抛物线． 4．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：选C　由题意知，抛物线C的准线方程为x＝－， 焦点F的坐标为(，0)．由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3.从而纵坐标yP＝±2.所以S △POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 5．已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是________． 解析：抛物线的方程即为y2＝36x，焦点在x轴上，且＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9. 答案：x＝－9 6．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________，抛物线的标准方程为________． 解析：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标F为，准线方程为x＝. 设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10， 即－(－9)＝10，得p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6. 故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 答案：(－9,6)或(－9，－6)　y2＝－4x 7．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上一点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2，且F(1,0)．由|MF|＝6，xM＋＝6，解得xM＝5.故yM＝±2. 所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. 答案：5　4 8．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解：(1)双曲线方程可化为－＝1，则左顶点为(－3,0)． 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，且＝－3. ∴p＝6.∴抛物线方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，A(m，－3)． 由抛物线定义，得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9. 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. [能力提升练] 9．已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P为抛物线上的任意一点，M(1,2)为平面上一点，则|PM|＋|PF|的最小值为(　　 ) A．3 B．2 C．4 D．2 解析：选A　由抛物线标准方程x2＝4y，可得p＝2.则焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.过点P作PA垂直准线于点A， 则|PM|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥3(当且仅当P，A，M三点共线时取等号)．故选A． 10．若抛物线y2＝2px(x＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：选D　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)． 由题意得，＝.解得p＝0(舍去)或p＝8. 11．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若点M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　 ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以点M到准线x＝－2的距离为|MF|. 又点M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，即|MF|＝4.故选D． 12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________. 解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3.所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6. 答案：6 13．如图所示，圆形水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线形状，向上至最高点后落下．若最高点距离水面2 m，P距离抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多大(精确到1 m)? 解：建立如图所示的平面直角坐标系，过点P作y轴的垂线交抛物线于另一点P′，过O′作y轴的垂线，交y轴于点A，交抛物线于点B． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)． 依题意有P(－1，－1)在此抛物线上， 代入得p＝. 所以抛物线方程为x2＝－y. 又点B在抛物线上，设B(x0，－2)(x0＞0)，代入抛物线方程，得x0＝，即|AB|＝. 则|O′B|＝|AB|＋|O′A|＝＋1. 因此水池的直径至少为2(＋1)m，约为5 m. [素养拓展练] 14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解：(1)依题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义知，|PF|＝d. 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|＋d的值最小，最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2. 因为2＞2，所以点B在抛物线的内部． 过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)． 由抛物线的定义知，|P1Q|＝|P1F|. 则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$