课时作业16 点到直线的距离公式& 两条平行直线间的距离（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(十六)　点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 [基础达标练] 1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．2 答案：A 2．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　 ) A．3 B．7 C． D． 解析：选C　在3x＋4y－2＝0上取一点，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，可得d＝＝. 3．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n 的值可能为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 答案：AB 4．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选B　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直．则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝. 5．直线－＝1与直线y＝x＋1之间的距离为________． 解析：将直线方程－＝1与y＝x＋1化为一般式分别为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0.由两平行直线间的距离公式，可得d＝＝. 答案： 6．已知x＋y－3＝0，则 的最小值为________． 解析：设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上，＝|PA|，|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离，为d＝＝. 答案： 7．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b＞1)， 则有A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． ∴|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b＞1)． 由梯形面积公式，得×＝4. ∴b2＝9，b＝±3.但b＞1，∴b＝3. 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 8．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程． 解：∵直线l平行于l1， ∴可设l的方程为7x＋8y＋C＝0. ∴d1＝，d2＝ . ∵2d1＝d2，∴2×＝ . 解得C＝21或C＝5. 于是直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0. [能力提升练] 9．(多选)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值可为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选ABCD　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5.∴0＜d≤5. 10．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C． D．4 解析：选A　由题意知，点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上．设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6.∴点M在直线x＋y－6＝0上．∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3. 11．若两直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0平行，则a，c需满足的条件是________；若这两条平行直线的距离为，则的值为__________． 解析：由题意，得＝≠. ∴a＝－4且c≠－2. 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0. 由两平行线间的距离公式，得＝. 解得c＝2或c＝－6.∴＝±1. 答案：a＝－4，且c≠－2　±1 12．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________． 解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)， 由两点式，得直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0. 利用点到直线的距离公式， 可得d＝＝4，解得x1＝－1或x2＝. 答案：(－1,0)或 13．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程． 解：设点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝ . 因为lAB∥lCD，所以可设lAB：x＋3y＋m＝0. 点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝. 又因为m≠－13，所以m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0. 因为lAD⊥lCD，所以可设lAD：3x－y＋n＝0. 则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，即＝.解得n＝5或n＝－1.则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0. 所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0. [素养拓展练] 14．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分． (1)求直线l的方程； (2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积． 解：(1)∵点B在直线l1上， ∴可设B点的坐标为(a,8－2a)． 又P(0,1)是AB的中点，∴A点的坐标为(－a,2a－6)． ∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0. 解得a＝4，即B点的坐标为(4,0)． 故直线l的方程是x＋4y－4＝0. (2)由(1)知，A点的坐标为(－4,2)． 又AD∥l1，∴kAD＝＝－2.∴m＝－6. ∵点A到直线l1的距离d＝＝， |AD|＝＝4，∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$