2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 学习目标 素养要求 1．了解点到直线距离公式的推导方法． 2．会求点到直线距离． 3．会解决两条平行线间的距离等问题. 通过对点到直线距离、两条平行线间距离公式的探究及应用，提升逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养. [自主梳理] 知识点一　点到直线的距离公式 [问题1]　在直角坐标系中，已知P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是点P到直线l的垂线段的长度？ 答：是． [问题2]　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ 答：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求．直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，所以l′的方程为y－y0＝－(x－x0)．联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|. [问题3]　问题2的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？ 答：如图，构造Rt△P0RS，分别求出|P0R|，|P0S|及|RS|，然后用等面积转化法求d. [问题4]　如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n? 答：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量． [问题5]　如图所示，设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，那么点P到直线l的距离应如何表示？ 答：点P到直线l的距离|PQ|＝||＝|·n|＝. ►知识填空 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离是指点到直线的__垂线段__的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　. 知识点二　两条平行直线间的距离 [问题1]　若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到直线l的距离与l′与l的距离相等吗？ 答：相等． [问题2]　怎样求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 答：先在其中一条直线上任取一点P，然后求点P到另一条直线的距离d，d即为两平行直线间的距离． ►知识填空 两条平行线间的距离 (1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间__公垂线段__的长． (2)求法：两平行线间的距离可转化为__点到直线的距离．__ (3)结论：两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)的距离为d＝　　. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1　　 B．5　　　 C．1　　 D．－5 解析：选AB　由点到直线的距离公式，得＝.所以a＝－1或5. 3．两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．1 解析：选C　由两平行线间的距离公式，可得d＝＝. 4．已知l1：x－y＋1＝0，l2：x－y－1＝0，则l1与l2之间的距离为________． 解析：由题意知，两直线平行． 所以d＝＝＝. 答案： 题型一　点到直线的距离公式及应用 [例 1]　(1)若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C．－或－ D．或 (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程． 解析：(1)选C　由点到直线的距离公式，得＝. 解得a＝－或a＝－. (2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.所以得m＝9或m＝－3. 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. [反思感悟] 点到直线的距离公式的应用 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． 1．点P0(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________． 解析：由点到直线的距离公式知d＝＝＝2. 答案：2 2．求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程． 解：因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在， 所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.又因为原点到直线的距离等于， 所以＝.解得k＝－7或k＝－1. 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 题型二　两条平行直线间的距离公式及应用 [例 2]　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________； (2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________． 解析：(1)由题意，得＝.即m＝2. 将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0， 由两平行线间距离公式，得d＝＝＝. (2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0. 由题意，得＝.解得C＝1. ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：(1)　(2)2x－y＋1＝0 [反思感悟] 求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式，得 ＝3. 解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 题型三　距离公式的综合应用 [例 3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0与x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 解：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)． 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝.解得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴直线l1的方程为x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝.解得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. [反思感悟] 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题： ①利用对称转化为两点之间的距离问题； ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离； ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题： 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题： 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5,0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 解：(1)设经过两已知直线交点的直线方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0. 所以＝3. 解得λ＝或λ＝2. 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由 解得交点P(2,1)． 如图，过点P作直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝. 此时直线l的方程为3x－y－5＝0. [课堂小结] 1．关于点到直线的距离公式的两点说明 (1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离． (2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根． [提醒]　在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 2．关于两条平行直线间的距离的两点说明 (1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离公式． 除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$