21.2.4一元二次方程根与系数的关系 预习知识点梳理+巩固练习+真题训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 一元二次方程根与系数的关系 教学目标 1、理解并能运用判别式判别一元二次方程根的情况 2、理解知两根关系式求参，并能够利用知两根关系式求参构造新的一元二次方程 3、利用知两根关系式求参解决一元二次方程根的分布问题 Part01.一元二次方程根与系数的关系 知识精讲： 一元二次方程根的判别式 知识点 典题范例 一般地，式子b²- 4ac叫做方程ax²+ bx + c = 0（a≠0）的根的判别式，通常用“△”表示它，即△= b²- 4ac 方程ax²+ bx + c = 0（a≠0） ①当△> 0时，有两个不相等的实数根 ②当△= 0 时，有两个相等的实数根 ③当△< 0时，无实数根 ²+ 2 - 4 = 0 a=1，b=2，c = - 4 △= b²- 4ac = 2²- 4×1×（- 4） = 20＞0 ∴ △＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根 反之，方程ax²+bx+c＝0（a≠0） ①若方程有两个不相等的实数根，则△> 0 ②若方程有两个相等的实数根，则△= 0 ③若方程无实数根，则△< 0 若方程x²+kx+4= 0有两个相等的实数根。 则△=k²-16=0 解得k=±4 1 题类:求根的判别式 关于x的方程x²- 2x - 1 = 0的根的判别式△说法正确的是（ ） A.△< 0 B. △≠0 C. △>0 D. △= 0 2 题类:根的判别式判断根的个数 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. x²+ 2x - 4 = 0 B. x²- 4x + 4 = 0 C. x²- 2x - 5 = 0 D. x²+ 3x + 4 = 0 3 题类:已知含参一元二次方程根的个数求参 已知关于x的一元二次方程x²－x－m=0有两个不相等的实数根， 求m的取值范围. 4 题类：已知含参一元二次方程根的个数求参 k为何值时，一元二次方程（k - 1）x²-（2k + 3）x +（k + 3）= 0有实数根. 5 题类：一元二次方程判别式解决恒成立问题；配方法解一元二次方程 已知关于x的一元二次方程x²+ kx - 3 = 0 ( 1 ) 求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ( 2 ) 当k = 2时，用配方法解此一元二次方程. 6 题类：一元二次方程判别式与三角形的综合 已知a、b、c是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x²- 4x + b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状， Part02.知两根关系求参 知识精讲： 知两根关系式求参 知识点 典题范例 知两根关系式求参 如果方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为，，那么两根，有如下关系：+= - ，= 若一元二次方程x²－6x－15=0的两根为，，则： += - = -（- 6）= 6 = = -15 1 题类：知两根关系式求参：+= - 若，是一元二次方程x²- 3x + 2 = 0 的两根，则+的值是（ ） A. - 2 B. 3 C. 2 D. 1 2 题类：知两根关系式求参：= 已知，是方程x²- 7x = 12 的两根，则的值是（ ） A. 10 B. - 12 C. 7 D. 12 3 题类：知两根关系式求参：+= - ；= 若一元二次方程x²- 2x -1 = 0的两根分别为，，则 -- 的值为 4 题类：知两根关系式求参变形： + = 若一元二次方程x²+ 5x - 2 = 0的两根分别为，，则 + = . 5 题类：知两根关系式求参变形：²+²= （）²- 已知关于x的一元二次方程x²- kx +k - 3 = 0的两根实数根分别为 ，， 且²+²= 5，则k的值是 . 6 题类：知两根关系式求参变形：（）²=（）²- 4 已知关于x的一元二次方程kx²- 2x - 3 = 0的两根实数根分别为 ，，且+= 4，则（）²= . 课中巩固 1 题类：一元二次方程判别式与三角形的综合 a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x²- 2cx + a²+ b²=0有两个相等 的实数根，这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2 题类：已知含参一元二次方程根的个数求参取值范围 关于x的一元二次方程（a - 5）²- 4x - 1 = 0有实数根，则实数a的取值范围 是 . 3 题类：知两根关系式求根 若 ，是方程x²- 6x - 7 = 0的两个根，则（ ） A. = 6 B. = - 6 C. = 7 D.²+²=3 4 题类：知两根关系式求根 已知实数，，满足= 7，= 12，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. x²- 7x + 12 = 0 B. x²+ 7x + 12 = 0 C. x²+ 7x - 12 = 0 D. x²- 7x - 12 = 0 5 题类：知两根关系式求值 设关于x的方程kx²-（2k+1）+ k = 0的两实数根为，，若 + = ， 求k的值． 6 题类：已知含参一元二次方程根的个数求参取值范围；知两根关系式求参 已知关于x的一元二次方程kx²- 2（k+1）x + k - 1 = 0有两个不相等的实数根，. ( 1 )求k的取值范围； ( 2 )是否存在实数k，使 + = 1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 7 题类：根的判别式判断根的个数；含参一元二次方程，知两根关系式求参 已知关于x的一元二次方程x² -（m-3）x - m = 0. ( 1 )求证：方程有两个不相等的实数根； ( 2 )如果方程的两实根为，，且² + ²- = 7，求m的值. 真题训练 例1 题类：已知含参一元二次方程根的个数求参 （2024年南沙区九上期末卷）关于x的一元二次方程x²+ 2x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）. A. - 1 B. 1 C. 3 D. 5 例2 题类： 已知含参一元二次方程根的个数求参取值范围 （2024年番禺区九上期末卷）若关于x的一元二次方程（k - 2）x²+2x - 1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 . 例3 题类：知两根关系式求根 （2024年荔湾区西关外国语中学九月月考卷）已知 ， 是一元二次方程x²- 4x + 3 = 0的两个根，则 -- 的值为（ ） A. - 1 B. - 7 C. 1 D. 7 例4 题类：知两根关系式求根 （2024年天河区九上期末卷）设 ， 是方程x²+5x = 0的两个根， 则+= . 例5 题类：根的判别式判断根的个数；含参一元二次方程，知两根关系式求参 （2024年荔湾区九上期末卷）若 ， 是关于x的一元二次方程x²- 10x +4m = 0的两个实数根，且++ = 26，求m的值. 例6 题类：根的判别式判断根的个数；含参一元二次方程，知两根关系式求参 （2024年海珠区九上期末卷）已知关于x的一元二次方程x²+（m + 4 ) x + m + 3 = 0 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若， 是方程的两根，且²· +²· = 0，求m的值. 例7 题类：根的判别式判断根的个数；含参一元二次方程，知两根关系式求参 （2024年西关外国语中学九上9月月考卷）已知关于x的一元二次方程x²- 4x - 2m + 5 = 0有两个实数根 （1）求实数m的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足 + = m²+ 6，求m的值 答案： 一元二次方程根的判别式 1. C 2. D 3. ∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴△= b²- 4ac =1 - m + 4m > 0 3m + 1 > 0 m > - 4. ∵ a = k-1，b = -（2k+3），c = k+3 ∴ △= b²- 4ac =（2k+3）²- 4( k - 1 )( k + 3 ) = 4k²+12k - 4k² - 8k +12 = 4k + 12 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴△ = 4k + 12 ≥ 0 k ≥ - 3 ∵ k-1≠0 ∴ k≠1 ∴ k ≥ - 3，k≠1 5.（1） ∵ a = 1，b = k，c = - 3 ∴ △= b²- 4ac = k²+ 12 ∵ k²≥ 0 ∴ △=k²+ 12 > 0 ∴ 方程总有两个不相等的实数根 （2） 将k = 2代入x²+ kx - 3 = 0 得：x²+ 2x - 3 = 0 x²+ 2x = 3 x²+ 2x + 1 = 3 + 1 （x + 1）²= 4 x + 1 =±2 ∴ x+1 = 2 x+1= -2 = =﹣3 5. ∵方程有两个相等的实数根 ∴ △= b²- 4ac =16 - 4b = 0 ∴ b = 4 ∵ c=b=4 ∴ △ABC为等腰三角形 根与系数关系 1. B 2. B 3. - 3 4. 5. 1 6. 40 课中巩固： 1. C 2. a ≧ 1且a≠5 3. A 4. A 5. 由题意可知：a=k，b= -（2k+1），c=k = ，= 1 ∵ + = = = （）²- 2 = 解得：=2，= - 6. （1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ △= b²- 4ac = 4（k+1）²- 4k（k-1） = 12k + 4 ≥ 0 k ≥ - （2）由题意可知：a=k，b= -2( k+1 )，c=k-1 = ，= ∵ + = 1 = 1 ÷ = 1 = 1 解得：k = -3 ∵ k ≥ - ∴ 不存在 7. （1）∵ a = 1，b = - (m-3)，c = - m ∴ △= b²- 4ac = ( m - 3 )²+ 4m = m²-2m + 9 = ( m - 1 )²+ 8 ∵ （m - 1）²≥ 0 ∴ △= ( m - 1 )²+ 8> 0 ∴ 方程有两个不相等的实数根 （2） 由题意可知：a=1，b= - ( m-3 )，c= - m = m - 3 ，= - m ∵ ² + ²- = 7 ( + )²- 2- = 7 ( + )²- 3= 7 ( m - 3 )²- 3m = 7 解得： = 2 = 1 真题训练： 例1：A 例2：K>- 3且k≠2 例3：A 例4：- 5 例5： 由题意可知：a=1，b= - 10，c= 4m = 10 ，= 4m ∵ ++ = 26 10 + 4m = 7 解得：m = 4 例6： （1） ∵ a = 1，b = m+4，c = m+3 ∴ △= b²- 4ac =（m+4）²- 4（m+3） = m²+ 4m + 4 =（m+4）²≥0 ∴ 方程总有实数根 （2）由题意可知：a = 1，b = m+4，c = m+3 = - (m+4) ，= m+3 ∵ ²· +²· = 0 () = 0 - (m+3)(m+4) = 0 解得：= - 3 = - 4 例7： （1）∵一元二次方程有两个实数根 ∴ △= b²- 4ac = 16 - 4（2m+5） = -8m - 4 ≥ 0 ∴ m ≦ - （2）由题意可知：a = 1，b = - 4，c = - 2m+5 = 4 ， = - 2m+5 ∵ + = m²+ 6 - 2m + 5 + 4 = m²+ 6 m² + 2m - 3 = 0 解得：= - 3 = -1 ∵ m ≦ - ∴ m = - 3 学科网（北京）股份有限公司 $$