7.3.3正态分布 同步练习-2025-2026学年中职高二数学同步人教版（2021）拓展模块一

7.3.3　正态分布 一、选择题 1．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间(　　) A．(90,110]内 B．(95,125]内 C．(100,120]内 D．(105,115]内 3．若X～N(1，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.4%，已知X～N(1,32)，则P(4<X≤7)＝(　　) A．40.8% B．27.2% C．13.6% D．45.3% 4．已知某批零件的长度X (单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8 ，从中随机取一个零件，其长度落在区间[58,60]内的概率为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．已知随机变量ξ 服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ≤4)＝P(ξ≥8)＝0.18，则P(6<ξ<8)＝(　　) A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42 6．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中 m<n，则P(m≤ξ≤n) 等于(　　) A．1－a－b B．2－a－b C．a＋b－1 D．a＋b－2 二、填空题 7．已知随机变量X～N(3，σ2)，若P(X≥4)＝0.1，则P(2<X<4)＝____________. 8．随机变量ξ 服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝____________. 9．在某项测量中，测量结果ξ 服从正态分布N(1，σ2)(σ>0) .若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ 在(0,2)内取值的概率为____________． 10．已知随机变量X～N(0，σ2)，且P(X<a)＝m，a>0，则P(－a<X<a)＝____________.　 11．设随机变量ξ 服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数a＝__________. 12．已知随机变量 服从正态分布N(3，σ2)，若P(1<X≤3)＝0.3，则P(X≥5)＝____________.　 13．已知随机变量X～N(3，σ2) ，若P(X<1)＝0.32，则P(3≤X<5)＝____________. 14．某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X 近似服从正态分布N(110，σ2) ，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为______________． 三、解答题 15．已知随机变量ξ 服从正态分布N(3，σ2)，求P(ξ<3) . 16．若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ] 内的概率是多少？(参考数据与公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.3%) 17．一年时间里，某职业学校一年级的学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位：时)近似服从正态分布N(50，σ2)，且P(30<X<70)＝0.7，该校一年级学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275，请估计该校高一年级学生人数． 答案 一、选择题 1．A　因为P(X>2)＝P(X<－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X>2)＝[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1　. 2．C　＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内． 3．C　∵X～N(1,32)，由P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.4%， ∴P(4<X≤7)＝P(μ＋σ<X≤μ＋2σ)＝(95.4%－68.3%)＝13.6%，故选C. 4．A　由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60，所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60<X<62)，又P(X<60)＝0.5，所以P(60<X<62)＝0.3，由正态密度曲线的对称性可得P(58<X<60)＝0.3，故选A. 5．C　∵ 随机变量ξ 服从正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ≤4)＝P(ξ≥8)，由对称性可知，μ＝6，又P(ξ≤4)＝P(ξ≥8)＝0.18，∴P(4<ξ<6)＝P(6<ξ<8)＝0.32，故选C. 6．A　 P(m≤ξ≤n)＝P(ξ≤n)－P(ξ<m)＝P(ξ≤n)＋P(ξ≥m)－1 ＝1－a＋1－b－1＝1－a－b，故选A. 二、填空题 7．解析：因为X～N(3，σ2)，若P(X≥4)＝0.1，所以P(X≤2)＝0.1，根据正态曲线的对称性，可知P(2<X<4)＝1－0.1×2＝0.8，故答案为0.8. 答案：0.8 8．解析：因为(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，所以P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，所以μ＝＝4，故答案为4. 答案：4 9．解析：因为正态分布的平均数为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8，故答案为0.8. 答案：0.8 10．解析：因为X～N(0，σ2)，故P(X<0)＝，则P(0<X<a)＝m－，故P(－a<X<a)＝2＝2m－1，故答案为2m－1. 答案：2m－1 11．解析：由题意，随机变量ξ 服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，又由P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，可得x＝a－5 和x＝a＋1 关于x＝4，所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6，故答案为6. 答案：6 12．解析：因为P(1<X≤3)＝P(3<X≤5)＝0.3，所以P(X≥5)＝0.5－0.3＝0.2，故答案为0.2. 答案：0.2 13．解析：因为随机变量X～N(3，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝3，所以P(X≥5)＝P(X<1)＝0.32，所以P(3≤X<5)＝0.5－P(X≥5)＝0.18，故答案为0.18. 答案：0.18 14．解析：因为X 近似服从正态分布N(110，σ2)，P(100≤X≤110)＝0.35，所以P(110≤X≤120)＝P(100≤X≤110)＝0.35，由正态分布的对称性可知：P(X>120)＝0.5－P(110≤X≤120)＝0.5－0.35＝0.15，所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为0.15×100＝15，故答案为15. 答案：15 三、解答题 15．解：由随机变量ξ 服从正态分布N(3，σ2)，则正态曲线关于x＝3 对称，P(ξ<3)＝0.5. 16．解：由题意，随机变量X～N(μ，σ2)，可得P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.3%，根据正态分布曲线的对称性，可得P(μ<X≤μ＋σ)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝×68.3%＝34.15%，故答案为34.15%. 17．解：由P(30<X<70)＝0.7，得P(X≤30)＝(1－0.7)＝0.15， 所以P(X>30)＝1－0.15＝0.85. 所以估计该校高一年级学生人数为1275÷0.85＝1 500. 学科网（北京）股份有限公司 $$