第三章 平面向量 单元测试-2025-2026学年高二上学期人教版(2021)中职数学拓展模块一

第三章 平面向量 单元测试 一、选择题 1．若平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b ＝(　　) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(－1,0) D．(－1,2) 2．若向量a，b是两个共线的单位向量，则(　　) A．a＝b B．a·b＝0 C．a·b＝1 D．a2＝b2 3．下列关于向量的概念叙述正确的是(　　) A．方向相同或相反的向量是共线向量 B．若a∥b ，b∥c ，则a∥c C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 4．如图所示为正八边形ABCDEFGH，若其中O为正八边形的中心，则 － ＝(　　) A． B． C． D． 5．下列向量的线性运算正确的是(　　) A．＋ ＝ B．＋ ＝ C．－ ＝ D．－ ＝ 6．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是(　　) A．＋ ＝ B．－ ＝ C．＋ ＝ D．＋ ＝ 7．若等边ΔABC的边长为2，D为BC中点，则＝(　　) A． B．2 C．3 D．4＋ 8．下列命题正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若a·b＝a·c，则b＝c C．若a和b都是非零向量，且|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b D．若a·b＞0，则a与b的夹角〈a，b〉为锐角 9．若 ＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标是(　　) A．(－1,8) B．(1，－8) C．(－3,2) D．(3，－2) 10．若点A(－2,3)，B(2，－3)，则向量 的坐标是(　　) A．(4，－6) B．(－4,6) C．(0,0) D．(－4，－6) 11．若平行四边形ABCD 中，＝(1,2)，C(5,3)，则点D 的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－4，－1) C．(4,1) D．(6,5) 12．若向量 ＝(－1,2)，则点B在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 13．若向量a＝(1，－2)，则a的相反向量的坐标是 (　　) A．(1,2) B．(－1,2) C．(－1，－2) D．(－2,1) 14．已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a∥b，则a·b 等于(　　) A．－ B． C．－ D． 15．在菱形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是(　　) A．＝ B．＋ ＝ C．(＋ )⊥(－ ) D．|＋ |＝|－ | 16．已知 ＝(－1,2)，C(0,1)，若 ＝2 ，则点D的坐标是(　　) A．(－2,3) B．(2，－3) C．(－2,1) D．(－2,5) 17．已知向量a＝(－1,2)，若a的终点坐标为(3，－6)，则a的起点坐标为(　　) A．(－4，－8) B．(4，－8) C．(－4,8) D．(4,8) 18．已知向量 ⊥ ，||＝4，则 · 等于 (　　) A．－16 B．－4 C．4 D．0 19．若向量a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　　) A．(－3，－1) B．(－1,3) C．(1，－3) D．(2，－1) 20．已知向量a＝(1，)，b＝，若a与b的夹角为60°，则实数x的值是(　　) A．0 B． C． D．0或 二、填空题 21．若向量a＝(2，－4)，b＝(－1，－1)，则2a－3b＝________. 22．若向量a＝(1，－2)，b＝(－1,3)，c＝(0,2)，则a·(b－c)＝________. 23．若向量 ＝(m，n)，＝(1，－5)，＝(2,6)，则mn＝________. 24．已知向量a＝(3λ－2,4)，b＝(1，－2)，若a∥b，则实数λ的值为______． 25．已知向量a与b均为单位向量．若|a＋b|＝，则向量a与b的夹角等于______． 三、解答题 26．判断下列各组向量哪些是平行关系，哪些是垂直关系，请说明理由． (1)a＝(－3，－15)，b＝(1,5)； (2)a＝(1,2)，b＝(－2，－4)； (3)a＝(0,2)，b＝(－1,0)； (4)a＝(3,2)，b＝(－2,3)． 27．已知tan α＝3，向量a＝(2，－3)，b＝(－cos2α，2sin α cos α)，求a·b的值． 28．已知向量|a|＝3，|b|＝2，且a与b的夹角为. (1)求|a＋b|； (2)求 (2a＋b)·(3a－2b)． 29．已知向量a＝(3,2)，b＝(x，－1)． (1)当(2a－b)⊥b，求实数x的值； (2)当c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)，求向量a与b的夹角θ. 30．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点．试用向量的方法证明PQ∥AB. 答案 一、选择题 1．D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a＝，b＝，所以a－b ＝(－1,2)，故选D. 2．D　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以a2＝b2＝1，所以D正确；由已知a，b共线，所以a，b的方向相同或相反； 当a，b的方向相反时，a≠b，A错误；当a，b的方向相反时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－1，故B、C错误；故选D. 3．A　由向量共线的定义，可知A正确；当b＝0时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可．故选A. 4．A　因为 ＝，所以 －＝－＝，故选A. 5．C　6.D 7．C　因为等边ABC的边长为2，D为BC中点，所以AD＝＝，＋＝2，所以＝＝＝3＝3；故选C. 8．C　由|a＋b|＝|a－b|可得|a＋b|2＝|a－b|2，故a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a⊥b，故选C. 9．A　设点B的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)－(－2,5)＝(1,3)，所以(x，y)＝(1,3)＋(－2,5)＝(－1,8)，即点B的坐标为(－1,8)．故选A. 10．A 11．C　设点D的坐标为(x，y)，则＝，即(1,2)＝(5－x，3－y)，解得，即D(4,1)．故选C. 12．D　13.B 14．C　因为向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，a∥b， 所以－1－2 m＝0，得m＝－，所以a·b＝－－2＝－.故选C. 15．C 16．D设D(x，y)，则 ＝(x，y－1)，2 ＝(－2,4)， 根据 ＝2 ，得(x，y－1)＝(－2,4)， 即，解得：，所以点D的坐标为(－2,5)．故选D. 17．B　18.D　19.A 20．C　由a＝(1，)，b＝， 有a·b＝x－，|a|＝2，|b|＝，cos〈a，b〉＝cos 60°＝，又因为cos〈a，b〉＝＝，所以＝，两边同时平方，解得或x＝或x＝0，当x＝0，cos〈a，b〉＝＝－，不合题意，所以x＝0 舍去，x＝.故选C. 二、填空题 21．(7，－5) 22．－3 23．解析： ＝＋＝(m，n)＋(1，－5)＝(m＋1，n－5)＝(2,6)，所以m＋1＝2，n－5＝6，即m＝1，n＝11，所以mn＝11. 答案：11　 24．0 25．90° 三、解答题 26．解：(1)因为(－3)×5＝(－15)×1＝－15，所以a∥b. (2)因为1×(－4)＝2×(－2)＝－4，所以a∥b. (3)因为a·b＝(0,2)·(－1,0)＝0，所以a⊥b. (4)因为a·b＝(3,2)·(－2,3)＝0，所以a⊥b. 27．解：a·b＝－2cos2α－6 sin α cos α＝ ＝＝＝－2. 28．解：(1)由题意，向量|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为，可得a·b＝|a||b|cos＝3×2×＝3，所以|a＋b|＝＝＝. (2)因为向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝3，所以(2a＋b)·(3a－2b)＝6a2－a·b－2b2＝6×9－3－2×4＝43. 29．解：(1)因为向量a＝(3,2)，b＝(x，－1)，所以2a－b＝(6－x,5)，由(2a－b)⊥b，得(2a－b)·b＝0，即(6－x,5)·(x，－1)＝0，即x(6－x)－5＝0，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或x＝5，所以x＝1或x＝5. (2)因为a＝(3,2)，b＝(x，－1)，c＝(－8，－1)，所以b＋c＝(x－8，－2)，由a∥(b＋c)，可得3×(－2)－2×(x－8)＝0，解得x＝5，所以|a|＝＝，|b|＝＝，a·b＝3×5＋2×(－1)＝13，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 30．证明：因为P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点，所以＝(＋)，＝，所以＝－＝(＋－)＝(＋)；又因为AB∥CD，则可设＝λ(λ＜0)，所以＝，又≠，所以λ≠－1，所以PQ∥AB. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$