第五章 立体几何 单元测试-2025-2026学年高二上学期人教版(2021)中职数学拓展模块一

第五章 立体几何 单元测试 一、选择题 1．若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m的关系是(　　) A．l⊥m B．l∥m C．l与m异面 D．无法确定 2．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 4．三条直线两两相交，可确定的平面个数是(　　) A．1个 B．1个或2个 C．1个或3个 D．3个 5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β 6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，上底面对角线A1C1与侧面对角线B1C所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 7．下列说法正确的是(　　) A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 8．空间同垂直于一条直线的两条直线的位置关系(　　) A．一定是异面直线 B．不可能平行 C．不可能相交 D．异面、共面都有可能 9．如果直线a∥α，则a平行于α内的(　　) A．无数条相交的直线 B．无数条互相平行的直线 C．任意一条直线 D．唯一确定的一条直线 10．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的上述关系的集合表示可记作(　　) A．M∈a∈α B．M∈a⊂α C．M⊂a⊂α D．M⊂a∈α 11．正方体ABCD——A1B1C1D1中，AB与B1C所成的角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 12．设a，b是异面直线，下列命题正确的是(　　) A．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交 B．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直 C．过a一定可以作一个平面与b垂直 D．过a一定可以作一个平面与b平行 13．棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，直线A1B1与直线BC1的距离是(　　) A．a B．a C． D． 14．如图所示，在三棱锥A——BCD中，E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，则下列结论错误的是(　　) A．BD∥平面EFG B．FG∥平面ABC C．EF∥平面BDC D．BC∥平面EFG 15．已知直线a，b和平面α，其中真命题的是(　　) A．若a∥α，a∥b，则b∥α B．若a⊂α，b∩α＝A，则a与b异面 C．若a∥b，b⊥α，则a⊥α D．若a⊥b，a⊥α，则b∥α 16．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b(　　) A．可能垂直，不可能平行 B．可能平行，不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．不可能垂直，也不能垂直 17．在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，点A到B1D1的距离是(　　) A． B． C． D． 18．长方体ABCD——A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝3，AA1＝4，则二面角D1——AB——D的余弦值是(　　) A． B． C． D． 19．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β 20．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ.下面四个命题中，正确的是(　　) A.⇒α∥β B．⇒l⊥β C.⇒m∥n D．⇒m∥n 二、填空题 21．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是________． 22．如图所示的正方体ABCD——A1B1C1D1中，G为CC1的中点，则直线AG与平面BCC1B1所成角的正切值是________． 23．若平面的斜线段长4 cm，它的射影长为2 cm，则这条斜线段所在的直线与平面所成的角的大小为________． 24．正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C与AD1所成的角的度数为________． 25．已知二面角α­L­β内一点P到二面角的两个面α、β的距离分别是PA、PB，且PA＝PB＝AB＝2，则二面角的度数是________． 三、解答题 26．如图，已知PA⊥平面ABC，QC⊥平面ABC，PA＝QC， 求证：(1)PQ∥AC； (2)PQ∥平面ABC. 27．如图所示，在三棱锥P—ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，E，F，G分别为AB，BC，PC的中点， (1)求证：PB∥平面EFG； (2)BC⊥EG. 28．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D、E分别是棱AB，A1C1的中点， (1)求证：DE∥平面BCC1B1； (2)求直线DE与平面ABC所成角的正切值． 29．在四棱锥P—ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且∠DAB＝60°，AB＝2CD，∠DCP＝45°，设CD＝4. (1)求四棱锥P—ABCD的体积； (2)求证：AD⊥PB. 30．四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA＝AB＝a，E、F是侧棱PD、PC的中点． (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值． 答案 一、选择题 1．A　因为直线l⊥平面α，所以直线l垂直平面α内的任意一条直线． 2．B　由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；③中两平面有可能相交，故③错；由直线与平面垂直的定义知④正确．故选B. 3．D　两直线平行，与一条相交的直线，与另一条有可能异面，也有可能相交．故选D. 4．C　当三条直线相交于一个点时，可以确定1个或3个平面；当三条直线两两相交于三个点时，可以确定1个平面． 5．C　A选项中：当m不在β面内时就不正确了；B选项中：垂直平面内的一条直线推不出垂直平面；C选项中：因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α；D选项中：α与β可能平行． 6．C　A1C1与B1C所成的角为∠ACB1＝60°. 7．D　A选项，经过不共线的三点有且只有一个平面，故A错；B选项，经过两条相交或平行的直线有且只有一个平面，故B错误；C选项，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故C错误；D选项，经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故选D. 8．D 9．B　可根据线面平行的定义来确定，故选B. 10．B 11．A　AB垂直于B1C所在的平面，故AB⊥B1C，故选A. 12．D　A选项中，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B选项中：如果能作一个平面与a，b垂直，那么a∥b与已知矛盾；C选项中：如果作一个平面与b垂直，那么a与b就垂直． 13．D　设B1C∩BC1＝O ，可以证明B1O即为直线A1B1与直线BC1的距离． 14．D　ABC可证，无法证D. 15．C　A选项中：b可能在平面α内；B选项中：a与b可能相交；D选项中：b可能在平面α内． 16．B　a与b可能都与l平行；如果a与b垂直，又因为平面α⊥平面β，在平面α内作一条直线m垂直交线，则m垂直b，这样b即垂直a又垂直m，那么b就垂直平面α，那么b就垂直l，这与b不与l垂直相矛盾；故答案选B. 17．A　连接A1C1，设B1D1∩A1C1＝O ，连接AO，因为AB1＝AD1∴△AB1D1 为等腰三角形，所以AO⊥B1D1 ，所以AO的长度即为所求． 18．A　∠D1AD 即为所求． 19．B　A可以平行、相交或异面m∥n；C相交、垂直、平行皆有可能；D当n⊂α时正确，故选B. 20．D　由直线与平面垂直的性质定理知D正确． 二、填空题 21．平行或相交或异面 22．解析：连接BG，易知AB⊥平面BCC1B1，BG为AG在平面BCC1B1上的射影，∠AGB是AG与平面BCC1B1所成角，设正方体棱长为1，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，tan ∠AGB＝＝＝. 答案： 23．60° 24．90° 25．120° 三、解答题 26．证明：(1)因为PA⊥平面ABC，QC⊥平面ABC， 所以PA∥QC，又因为PA＝QC， 所以四边形APQC为平行四边形， 所以PQ∥AC. (2)由(1)知PQ∥AC， 又因为PQ⊄平面ABC， AC⊂平面ABC， 所以PQ∥平面ABC. 27．证明：(1)在△PBC中，因为点F，G分别为BC，PC的中点， 所以GF∥PB，因为PB⊄平面EFG，GF⊂平面EFG， 所以PB∥平面EFG. (2)因为点E，F，G分别为AB，BC，PC的中点， 所以EF∥AC，GF∥PB， 因为PB⊥BC，AC⊥BC，所以EF⊥BC，GF⊥BC， 因为EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， 所以BC⊥平面EFG， 又因为EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG. 28．证明：(1)如图所示，取BC中点F，连接C1F，DF. 因为DF是△ABC的中位线，所以DF∥AC，且DF＝AC. 因为EC1∥AC，且EC1＝AC，所以DF∥EC1，DF＝EC1. 所以四边形DFEC1是平行四边形，故DE∥C1F. 因为DE⊄平面BCC1B1，C1F⊂平面BCC1B1， 所以DE∥平面BCC1B1. (2)因为DE∥C1F，所以DE与平面ABC所成角就是直线C1F与平面ABC所成角，即∠C1FC. 在Rt△C1CF中，FC＝CC1，所以tan ∠C1FC＝＝2， 所以直线DE与平面ABC所成角的正切值是2. 29．提示：(1)CD＝4，AB＝8，等腰梯形ABCD的高为2 . 所以等腰梯形ABCD的面积为12 ；PD＝CD＝4，四棱锥P－ABCD的高为4，所以四棱锥P­ABCD的体积为16 . (2)AD⊥PD，AD⊥DB， 所以AD⊥平面PDB，所以AD⊥PB. 30．提示：(1)EF∥CD∥AB，所以EF∥平面PAB ； (2)直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值为 . 答案 一、选择题 1．A　因为直线l⊥平面α，所以直线l垂直平面α内的任意一条直线． 2．B　由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；③中两平面有可能相交，故③错；由直线与平面垂直的定义知④正确．故选B. 3．D　两直线平行，与一条相交的直线，与另一条有可能异面，也有可能相交．故选D. 4．C　当三条直线相交于一个点时，可以确定1个或3个平面；当三条直线两两相交于三个点时，可以确定1个平面． 5．C　A选项中：当m不在β面内时就不正确了；B选项中：垂直平面内的一条直线推不出垂直平面；C选项中：因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α；D选项中：α与β可能平行． 6．C　A1C1与B1C所成的角为∠ACB1＝60°. 7．D　A选项，经过不共线的三点有且只有一个平面，故A错；B选项，经过两条相交或平行的直线有且只有一个平面，故B错误；C选项，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故C错误；D选项，经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故选D. 8．D 9．B　可根据线面平行的定义来确定，故选B. 10．B 11．A　AB垂直于B1C所在的平面，故AB⊥B1C，故选A. 12．D　A选项中，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B选项中：如果能作一个平面与a，b垂直，那么a∥b与已知矛盾；C选项中：如果作一个平面与b垂直，那么a与b就垂直． 13．D　设B1C∩BC1＝O ，可以证明B1O即为直线A1B1与直线BC1的距离． 14．D　ABC可证，无法证D. 15．C　A选项中：b可能在平面α内；B选项中：a与b可能相交；D选项中：b可能在平面α内． 16．B　a与b可能都与l平行；如果a与b垂直，又因为平面α⊥平面β，在平面α内作一条直线m垂直交线，则m垂直b，这样b即垂直a又垂直m，那么b就垂直平面α，那么b就垂直l，这与b不与l垂直相矛盾；故答案选B. 17．A　连接A1C1，设B1D1∩A1C1＝O ，连接AO，因为AB1＝AD1∴△AB1D1 为等腰三角形，所以AO⊥B1D1 ，所以AO的长度即为所求． 18．A　∠D1AD 即为所求． 19．B　A可以平行、相交或异面m∥n；C相交、垂直、平行皆有可能；D当n⊂α时正确，故选B. 20．D　由直线与平面垂直的性质定理知D正确． 二、填空题 21．平行或相交或异面 22．解析：连接BG，易知AB⊥平面BCC1B1，BG为AG在平面BCC1B1上的射影，∠AGB是AG与平面BCC1B1所成角，设正方体棱长为1，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，tan ∠AGB＝＝＝. 答案： 23．60° 24．90° 25．120° 三、解答题 26．证明：(1)因为PA⊥平面ABC，QC⊥平面ABC， 所以PA∥QC，又因为PA＝QC， 所以四边形APQC为平行四边形， 所以PQ∥AC. (2)由(1)知PQ∥AC， 又因为PQ⊄平面ABC， AC⊂平面ABC， 所以PQ∥平面ABC. 27．证明：(1)在△PBC中，因为点F，G分别为BC，PC的中点， 所以GF∥PB，因为PB⊄平面EFG，GF⊂平面EFG， 所以PB∥平面EFG. (2)因为点E，F，G分别为AB，BC，PC的中点， 所以EF∥AC，GF∥PB， 因为PB⊥BC，AC⊥BC，所以EF⊥BC，GF⊥BC， 因为EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， 所以BC⊥平面EFG， 又因为EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG. 28．证明：(1)如图所示，取BC中点F，连接C1F，DF. 因为DF是△ABC的中位线，所以DF∥AC，且DF＝AC. 因为EC1∥AC，且EC1＝AC，所以DF∥EC1，DF＝EC1. 所以四边形DFEC1是平行四边形，故DE∥C1F. 因为DE⊄平面BCC1B1，C1F⊂平面BCC1B1， 所以DE∥平面BCC1B1. (2)因为DE∥C1F，所以DE与平面ABC所成角就是直线C1F与平面ABC所成角，即∠C1FC. 在Rt△C1CF中，FC＝CC1，所以tan ∠C1FC＝＝2， 所以直线DE与平面ABC所成角的正切值是2. 29．提示：(1)CD＝4，AB＝8，等腰梯形ABCD的高为2 . 所以等腰梯形ABCD的面积为12 ；PD＝CD＝4，四棱锥P－ABCD的高为4，所以四棱锥P­ABCD的体积为16 . (2)AD⊥PD，AD⊥DB， 所以AD⊥平面PDB，所以AD⊥PB. 30．提示：(1)EF∥CD∥AB，所以EF∥平面PAB ； (2)直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$