第四章 圆锥曲线 单元测试-2025-2026学年高二上学期人教版(2021)中职数学拓展模块一

第四章 圆锥曲线 单元测试 一、选择题 1．若椭圆的长轴长等于10，短轴长等于6，则焦距等于(　　) A．8 B．4 C．12 D．16 2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为10，焦距为8，焦点在x轴上，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．已知椭圆的焦距恰好等于它的短轴长，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的离心率为 ，则m的值等于(　　) A．16 B．4 C．7 D． 5．直线经过椭圆＋＝1的长轴顶点和短轴顶点，则该直线被椭圆截得的线段长为(　　) A．3 B．4 C．5 D． 6．已知双曲线的焦点坐标为F1(0，－5)，F2(0,5)，虚轴长为8，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 7．双曲线－＝1 上一点P到它的一个焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．16 B．14 C．2 D．4 8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 9．已知双曲线的实轴长和虚轴长相等，且过点P(4,3)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 10．直线过双曲线－＝1 的右焦点且垂直于x轴，与双曲线相交于两点，则直线与双曲线的交点坐标为(　　) A．(－4，－6)和(－4,6) B．(4，－6)和(4,6) C．(－4，－36)和(－4,36) D．(4，－36)和(4,36) 11．双曲线16y2－4x2＝64的渐近线方程是(　　) A．y＝± x B．y＝±2x C．y＝x D．y＝－x 12．已知双曲线的离心率e＝，且过点(3,7)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 13．已知双曲线 －＝1的一焦点F，那么点F到它的渐近线距离等于(　　) A．3 B．4 C．9 D．16 14．已知双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，两个顶点恰好将焦距3等分，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 15．已知F1是双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，则双曲线的离心率等于(　　) A． B． C．2 D．3 16．已知抛物线y2＝2px的准线经过点(2，－1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(－2,0) B．(2,0) C．(0，－2) D．(0,2) 17．若抛物线y＝ax2的焦点坐标为，则a的值是(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 18．已知抛物线y2＝2px上一点P(3，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 19．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆 ＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 二、填空题 20．椭圆＋＝1 上一点P到一焦点的距离为6，则到另一焦点的距离是______． 21．已知椭圆的一个焦点为(0，－2)，离心率是 ，则该椭圆的长轴长等于__________． 22．已知双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，则a的值为______． 23．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则该双曲线的离心率为______． 24．已知点P(8，a)在抛物线y2＝4px(p＞0)上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______． 三、解答题 25．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12.求椭圆的标准方程． 26．已知直线与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为P(2,1)，求直线AB的方程． 27．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为2，离心率为.求双曲线的标准方程． 28．直线y＝x－4与抛物线y2＝2px (p＞0)交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求抛物线的标准方程； (2)求|AB|. 29．如图所示，已知椭圆 ＋＝1与双曲线有共同焦点F1，F2，点P是椭圆与双曲线的右支在第一象限内的交点，并且点A(2,0)是双曲线的右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)求 · . 答案 一、选择题 1．A　由题意得2a＝10,2b＝6，所以a＝5，b＝3，c＝4，即2c＝8，故选A. 2．C　由题意知，a2＝4，则a＝2，所以△ABF2的周长为4a＝8，故选C. 2．B　由题意知，2a＝10,2c＝8，所以a＝5，b＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1，故选B. 3．C　由题意知b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以a＝c，所以e＝＝，故选C. 4．D　由题意知，a2＝6，b2＝m，e2＝＝，所以 ＝，解得m＝，故选D. 5．C　设椭圆的长轴顶点和短轴顶点分别为(0,4)和(3,0)，所以被截得的线段长为＝5，故选C. 6．D　由题意知，双曲线的焦点在y轴上，c＝5,2b＝8，则a2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选D. 7．B　由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a，所以|6－|PF2||＝8，解得|PF2|＝14，故选B. 8．A　因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以＝2，所以e＝＝＝，故选A. 9．A　设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点P(4,3)代入方程，得λ＝7，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选A. 10．B　由题意知，a2＝4，b2＝12，则c＝4，即双曲线的右焦点为(4,0)，把x＝4代入双曲线方程，得y＝±6，所以直线与双曲线的交点坐标为(4，－6)和(4,6)，故选B. 11．A　双曲线化简得 －＝1，所以渐近线为y＝±x，故选A. 12．A　因为e＝，所以双曲线方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，又因为过点(3,7)，所以9－49＝λ，即λ＝－40，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 13．B　因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，又b＝4，所以焦点到渐近线的距离等于4，故选B. 14．A　由题意知，a＝2，因为两个顶点恰好将焦距3等分，所以2c＝12，即c＝6，所以b2＝32，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 15．A　根据双曲线的定义，|PF2|－|PF1|＝2a，|PF1|＝a，所以，|PF2|＝3a.因为直线PF1与x轴垂直，所以△PF1F2为直角三角形，则|F1F2|2＝|PF2|2－|PF1|2＝8a2，所以|F1F2|＝2 a＝2c，即c＝a.所以双曲线的离心率e＝，故选A. 16．A　由题意知，抛物线的焦点在x轴上，准线方程为x＝2，所以抛物线的焦点坐标为(－2,0)，故选A. 17．C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以＝－，解得a＝－1. 18．A　抛物线的准线方程为x＝－，由题意可知，点P到准线的距离为3＋＝4，所以p＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x，故选A. 19．B　椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线满足＝2，解得p＝4，故选B. 二、填空题 20．解析：由题意知，2a＝8，所以由椭圆的定义可知到另一个焦点的距离为8－6＝2. 答案：2 21．解析：由题意知，c＝2，e＝＝，则c＝4，所以长轴长2a＝8. 答案：8 22．解析：渐近线方程化成y＝±x，所以＝，所以＝，解得a＝4. 答案：4 23．解析：由题意知a＝2b，则a2＝4b2，因为c2＝5b2，所以e2＝，e＝. 答案： 24．解析：由题意知，p＋8＝10，所以p＝2，所以焦点到准线的距离为4. 答案：4 三、解答题 25．解：(1)由题意得，解得a＝6，b2＝27，c＝3. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 26．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为线段AB的中点坐标为P(2,1)， 所以即 因为A，B在椭圆上，所以 两式相减，得＋＝0， 整理得＝－，即直线AB的斜率为－. 所以直线AB的方程的方程为y－1＝－(x－2)，整理得x＋2y－4＝0. 27．解：由题意得，解得a2＝2，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 28．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，得x2－2(p＋4)x＋16＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，所以y1y2＝－8p. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即16－8p＝0，解得p＝2. 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由消去y，得x2－12x＋16＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝12，x1x2＝16, 所以|AB|＝＝＝＝4. 29．解：(1)设双曲线的标准方程为 －＝1(a＞0，b＞0)，c＝4，a＝2，所以双曲线的方程为 －＝1. (2)解方程组 ，得| 1|＝7，| 2|＝3，而焦距| |＝8. 由余弦定理求得cos∠F1PF2＝－，所以 1· 2＝|1|·| 2|cos∠F1PF2＝7×3×＝－3. 答案 一、选择题 1．A　由题意得2a＝10,2b＝6，所以a＝5，b＝3，c＝4，即2c＝8，故选A. 2．C　由题意知，a2＝4，则a＝2，所以△ABF2的周长为4a＝8，故选C. 2．B　由题意知，2a＝10,2c＝8，所以a＝5，b＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1，故选B. 3．C　由题意知b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以a＝c，所以e＝＝，故选C. 4．D　由题意知，a2＝6，b2＝m，e2＝＝，所以 ＝，解得m＝，故选D. 5．C　设椭圆的长轴顶点和短轴顶点分别为(0,4)和(3,0)，所以被截得的线段长为＝5，故选C. 6．D　由题意知，双曲线的焦点在y轴上，c＝5,2b＝8，则a2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选D. 7．B　由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a，所以|6－|PF2||＝8，解得|PF2|＝14，故选B. 8．A　因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以＝2，所以e＝＝＝，故选A. 9．A　设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点P(4,3)代入方程，得λ＝7，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选A. 10．B　由题意知，a2＝4，b2＝12，则c＝4，即双曲线的右焦点为(4,0)，把x＝4代入双曲线方程，得y＝±6，所以直线与双曲线的交点坐标为(4，－6)和(4,6)，故选B. 11．A　双曲线化简得 －＝1，所以渐近线为y＝±x，故选A. 12．A　因为e＝，所以双曲线方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，又因为过点(3,7)，所以9－49＝λ，即λ＝－40，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 13．B　因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，又b＝4，所以焦点到渐近线的距离等于4，故选B. 14．A　由题意知，a＝2，因为两个顶点恰好将焦距3等分，所以2c＝12，即c＝6，所以b2＝32，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 15．A　根据双曲线的定义，|PF2|－|PF1|＝2a，|PF1|＝a，所以，|PF2|＝3a.因为直线PF1与x轴垂直，所以△PF1F2为直角三角形，则|F1F2|2＝|PF2|2－|PF1|2＝8a2，所以|F1F2|＝2 a＝2c，即c＝a.所以双曲线的离心率e＝，故选A. 16．A　由题意知，抛物线的焦点在x轴上，准线方程为x＝2，所以抛物线的焦点坐标为(－2,0)，故选A. 17．C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以＝－，解得a＝－1. 18．A　抛物线的准线方程为x＝－，由题意可知，点P到准线的距离为3＋＝4，所以p＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x，故选A. 19．B　椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线满足＝2，解得p＝4，故选B. 二、填空题 20．解析：由题意知，2a＝8，所以由椭圆的定义可知到另一个焦点的距离为8－6＝2. 答案：2 21．解析：由题意知，c＝2，e＝＝，则c＝4，所以长轴长2a＝8. 答案：8 22．解析：渐近线方程化成y＝±x，所以＝，所以＝，解得a＝4. 答案：4 23．解析：由题意知a＝2b，则a2＝4b2，因为c2＝5b2，所以e2＝，e＝. 答案： 24．解析：由题意知，p＋8＝10，所以p＝2，所以焦点到准线的距离为4. 答案：4 三、解答题 25．解：(1)由题意得，解得a＝6，b2＝27，c＝3. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 26．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为线段AB的中点坐标为P(2,1)， 所以即 因为A，B在椭圆上，所以 两式相减，得＋＝0， 整理得＝－，即直线AB的斜率为－. 所以直线AB的方程的方程为y－1＝－(x－2)，整理得x＋2y－4＝0. 27．解：由题意得，解得a2＝2，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 28．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，得x2－2(p＋4)x＋16＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，所以y1y2＝－8p. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即16－8p＝0，解得p＝2. 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由消去y，得x2－12x＋16＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝12，x1x2＝16, 所以|AB|＝＝＝＝4. 29．解：(1)设双曲线的标准方程为 －＝1(a＞0，b＞0)，c＝4，a＝2，所以双曲线的方程为 －＝1. (2)解方程组 ，得| 1|＝7，| 2|＝3，而焦距| |＝8. 由余弦定理求得cos∠F1PF2＝－，所以 1· 2＝|1|·| 2|cos∠F1PF2＝7×3×＝－3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$