2.5.1 第2课时 直线和圆的方程的实际应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　直线和圆的方程的实际应用

[学习目标]　

1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)

2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)

探究1　圆的方程的实际应用

问题　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？

[提示]　向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性．坐标法与它类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决．

[新知生成]

用坐标法解决几何问题

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

【教用·微提醒】　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．

[典例讲评]　【链接教材P93例3】

1．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，建造时每间隔4

m需要用一根支柱支撑，支柱A2P2的高度为4 m，求拱高OP．(精确到0.01 m)．

[解]　建立如图所示的平面直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点A，P2的坐标分别为A(－10，0)，P2(－2，4)．

设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2，

则有

解得b＝－10，r2＝200，

所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝200，

当x＝0时，点P的纵坐标y＝10－10≈4.14 m．(另一根舍去)．

答：拱高OP约为4.14 m．