2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1　直线与圆的位置关系

第1课时　直线与圆的位置关系

[学习目标]　1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)

探究1　直线与圆位置关系的判定

问题　利用直线和圆的方程，如何判断它们的位置关系呢？

[提示]　转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题．

[新知生成]

直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

 

【教用·微提醒】　代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．

[典例讲评]　1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与

直线相交、相切、相离？

[解]　法一：由

②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③

方程③的根的判别式

Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．

当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．

综上，当－2<b<2时，直线与圆相交；当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；当b>2或b<－2时，直线与圆相离．

法二：圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝．

当d<r，即<时，直线与圆相交，∴－2<b<2．

当d＝r，即＝时，直线与圆相切，∴b＝±2．

当d>r，即>时，直线与圆相离，∴b>2或b<－2．

综上，当－2<b<2时，直线与圆相交；

当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；

当b>2或b<－2时，直线与圆相离．

　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

[学以致用]　1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

A　[圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C(0，1)，半径r＝，

又圆心C到直线l的距离d＝＝＜，

所以直线l与圆C相交．故选A．]

2．已知直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，则a＝(　　)

A．－ 

C．－ 

B　[因为直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，

所以＝3，所以(3a＋2)2＝9(a2＋1)，解得a＝．故选B．]