2.2.2 直线的两点式方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) 2.2.2　直线的两点式方程 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关吗？ 问题2．两点式能否表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线？ 问题3．截距式方程适用的条件是什么？ 2.2.2　直线的两点式方程 探究建构 关键能力达成 探究1　直线的两点式方程 问题1　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ [提示]　＝，即＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [新知生成] 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为____________ ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称______． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即________；当y1＝y2时，直线P1P2_______y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 两点式 x＝x1 垂直于 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 【教用·微提醒】　两点式方程也可写成＝，需注意等号左、右两边的字母下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [典例讲评]　【链接教材P63例4】 1．(源自湘教版教材)如图所示，三角形的三个顶点分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [解]　(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝． 整理得2x＋5y＋10＝0． 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为＝． 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝． 整理得10x＋11y＋8＝0． 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． [解]　如图2.2-6，过B(3，－3)，C(0，2)的直线 的两点式方程为＝， 整理得5x＋3y－6＝0． 这就是边BC所在直线的方程． 【教材原题·P63例4】 例4　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段， 由中点坐标公式，可得点M的坐标为 ，即． 过A(－5，0)，M两点的直线方程为＝， 整理可得 x＋13y＋5＝0． 这就是边BC上中线AM所在直线的方程． 反思领悟　1．利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2．中点坐标公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2中点的坐标为． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [学以致用]　1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程． [解]　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1． (2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0． 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 探究2　直线的截距式方程 问题2　在点斜式方程的探究中，我们从一般到特殊，对条件的特殊情形作了研究，得到了直线的斜截式方程．类似地，对于直线的两点式方程，我们也可以用特殊的两点建立两点式方程，你觉得应该选用哪两个特殊点？你能否由这两点得出直线的方程呢？ [提示]　(a，0)，(0，b)(a≠0，b≠0)　＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [新知生成] 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在____上的截距，此时直线在y轴上的截距是____． x轴 b 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 【教用·微提醒】　(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [典例讲评]　【链接教材P63例3、P64练习T3】 2．过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0 C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 D　[法一：当直线过原点时，满足题意， 此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0， 当直线不过原点时，设直线方程为＝1(a≠0)， 因为直线过点A(1，4)，所以＝1， 解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0．故选D． 法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意， 设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)， 则x＝0时，y＝4－k；y＝0时，x＝1－，由题意知1－＋4－k＝0， 解得k＝4或k＝1，即直线方程为y＝4x或x－y＋3＝0．故选D．] [母题探究]　本例中“截距之和为零”改为“截距相等”呢？ [解]　(1)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx． 又l过A(1，4)，∴4＝k，∴直线l的方程为y＝4x． (2)当截距不为0时，设直线l的方程为＝1， 又l过A(1，4)，∴＝1，解得a＝5， ∴直线l的方程为x＋y－5＝0． 综上，直线l的方程为x＋y－5＝0或4x－y＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [解]　将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得 ＝，即＝1． 【教材原题·P63例3】 例3　如图2.2-5，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0．求直线l的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 【教材原题·P64练习T3】 根据下列条件，求直线的方程： (1)过点(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2； (2)过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2． [答案]　(1)＝1；(2)＝1或＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 反思领悟　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [学以致用]　2．经过点(－2，4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　) A．y＝x＋6 B．y＝2x＋8 C．y＝－2x或y＝x＋6 D．y＝－2x或y＝2x＋8 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 C　[设直线在x轴上的截距为a， 当a＝0时，设所求直线的方程为y＝kx， 将点(－2，4)代入直线方程y＝kx， 可得4＝－2k，故k＝－2，即直线方程为y＝－2x； 当a≠0时，可设直线方程为＝1， 由直线＝1过点(－2，4)，可得＝1， 所以a＝－6，故直线方程为y＝x＋6． 综上，所求直线方程是y＝－2x或y＝x＋6．故选C．] 探究3　截距式方程的应用 [典例讲评]　3．直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [解]　(1)设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0)， 因为直线l过点P，所以＝1，① 由△AOB的周长为12，得a＋b＋＝12，② 联立①②解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0． (2)设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝6，即ab＝12，③ 联立①③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0． 反思领悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|，周长C＝|a|＋|b|＋． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 [学以致用]　3．(多选)已知直线l过点(1，3)，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是(　　) A．3　　　B．5　　　C．7　　　D．9 √ CD　[由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0，可设l的方程为＝1(a，b＞0)，由直线l过点(1，3)，得＝1， 所以1＝≥2，当且仅当＝，即a＝2，b＝6时，等号成立， 即ab≥12，所以S＝ab≥6．故选CD．] √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 应用迁移 随堂评估自测 1．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示 C．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式 D．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 ABC　[对于A，点斜式方程适用于斜率存在的直线，故A错误； 对于B，斜截式方程适用于斜率存在的直线，故B错误； 对于C，截距式方程适用于不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C错误； 对于D，两点式方程适用于不与坐标轴重合或平行的直线，故D正确． 故选ABC．] 2．(教材P64练习T1改编)过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　) A．＝ ＝ C．＝ ＝ √ B　[过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是＝或＝．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 3．(多选)若直线l过点(4，－2)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0 C．x＋y－2＝0 D．x－y－6＝0 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 BD　[当截距为0时，则直线l过点(4，－2)和原点， 所以直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0； 当截距不为0时， 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设直线l的方程为＝1， 又直线l过点(4，－2)，得＝1，解得a＝6，所以直线l的方程为x－y－6＝0．故选BD．] 4．直线＝1与坐标轴围成的图形面积为________． 3　[因为直线＝1，故x轴上的截距为2，y轴上的截距为－3， 所以面积为×2×|－3|＝3．] 3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 1．知识链：     2．方法链：分类讨论、数形结合． 3．警示牌：在利用截距式求直线的方程时，容易忽视截距为零的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的两点式方程． [提示]　＝(x1≠x2，y1≠y2)． 2．试写出直线的截距式方程． [提示]　＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？ [提示]　可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若直线l的斜率为－，在x轴上的截距为－1，则l的方程为(　　) A．2x＋y＋2＝0 B．x＋2y－1＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 课时分层作业(十五)　直线的两点式方程 √ 39 C　[直线l的斜率为－，在x轴上的截距为－1， 所以l的方程为y＝－(x＋1)，即x＋2y＋1＝0． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知直线l经过点(－3，－2)，(1，2)，则下列不在直线l上的点是 (　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，1) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 41 D　[由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即x－y＋1＝0， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点(－2，－1)，(－1，0)，(0，1)都在直线l上，点(2，1)不在直线l上．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 3．已知△ABC三个顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝， 即2x＋y－8＝0．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 43 √ 4．已知直线l过点(m，3)和(3，2)，且在x轴上的截距是1，则实数m等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 44 D　[由直线在x轴上的截距为1，即直线过点(1，0)， 又因为直线l过点(m，3)和(3，2)， 所以直线l的斜率k＝＝1， 所以直线l的方程为y＝x－1， 将点(m，3)代入直线的方程可得3＝m－1， 解得m＝4． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 √ 5．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 46 C　[设直线l的截距式方程为＝1，且a＞0，a≠1，b＞0， ∵直线l经过点P(4，－3)，∴＝1，① ∵logab＝2，∴a2＝b，② 由①②解得a＝3，b＝9，＝1，即y＝－3x＋9， ∴直线l的斜率为－3．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 二、填空题 6．以点P(5，8)和Q(3，－4)为端点的线段的方程是_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6x－y－22＝0(3≤x≤5)　[过两点P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是＝(3≤x≤5)，即6x－y－22＝0(3≤x≤5)．] 6x－y－22＝0(3≤x≤5) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 48 7．写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x＋y－1＝0(答案不唯一)　[当截距相等且为0时，直线过原点，又直线不过第三象限， 则直线方程为y＝kx(k＜0)； 当截距相等且不为0时，直线截距式方程为＝1，又直线不过第三象限，有a＞0， 则直线方程为x＋y－a＝0(a＞0)．] x＋y－1＝0(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 49 8．已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1或2　[依题意，a≠0，因此直线ax＋y－2＋a＝0在x，y轴上的截距分别为－1，2－a，于是－1＝2－a，即a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2．] 1或2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 50 三、解答题 9．求下列直线l的方程： (1)l的倾斜角是π，l在x轴上的截距是－3； (2)l在x轴、y轴上的截距分别是－2，4； (3)直线l经过点A(2，1)，B(1，－2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 51 [解]　(1)因为l在x轴上的截距是－3，所以l经过点A(－3，0)，又因为l的斜率k＝tan π＝－，所以由点斜式可得l的方程是y＝－(x＋3)． (2)由题意，直线的截距式方程为＝1，即2x－y＋4＝0． (3)直接把点A，B的坐标代入直线的两点式方程， 得＝，即y＝3x－5． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 10．(多选)直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是(　　) A．3 B．0 C． D．1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 53 ABD　[由题意，直线l过点A(1，2)，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当截距为0时，显然满足题意，直线l的方程为y＝2x； 当截距不为0时，设横、纵截距分别为a，b，则直线方程为＝1， ∴解得b＝1或b＝3，∴直线l的纵截距可取0，1，3．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 11．直线＝1与直线＝1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　B　　 　　C　　 　　D √ B　[两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 55 12．直线l：＝1过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 56 B　[因为直线l：＝1过点A(2，3)，所以＝1，令x＝0，可得y＝n，即直线l与y轴交于点(0，n)，令y＝0，可得x＝m，即直线l与x轴交于点(m，0)，依题意可得m＞0，n＞0，所以＝1≥2，则mn≥24，当且仅当＝， 即m＝4，n＝6时取等号，所以直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积S＝mn≥12，当且仅当m＝4，n＝6时取等号，即直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积最小值为12．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 13．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3x－4y＋20＝0　[依题意知，a＝2，P(0，5)． 设A(x0，2x0)，B(－2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 3x－4y＋20＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 58 解得所以A(4，8)，B(－4，2)， 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 14．已知直线l过点P(3，4)． (1)若直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程； (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，求△AOB的面积的最小值及此时直线的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 60 [解]　(1)①当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，∴可设直线l的方程为＝1． ∵直线l过点P(3，4)，∴＝1，解得a＝5． ∴直线l的方程为＝1，即2x＋y－10＝0． ②当直线l过原点时，符合题意，斜率k＝， 直线方程为y＝x，即4x－3y＝0． 综上所述，所求直线l的方程为4x－3y＝0或2x＋y－10＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 (2)设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0)， 由直线l过点P(3，4)，得＝1． ∴1≥2，化为ab≥48， 当且仅当a＝6，b＝8时取等号． ∴△AOB的面积S＝ab≥×48＝24，其最小值为24． 此时直线的方程为4x＋3y－24＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 15．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m．问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.2　直线的两点式方程 63 [解]　如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300， 故点B(300，700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的方程为＝，即y＝x－300． 令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在 河边P(90，0)处电线用料最省． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 $$