1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 [学习目标]　 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算) 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．思考空间中的角与向量夹角的区别？ 问题2．如何用向量方法研究空间中的角的问题？ 第2课时　用空间向量研究夹角问题 探究建构 关键能力达成 探究1　两异面直线所成的角 问题1　如何借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？ [提示]　可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【教用·微提醒】　两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝，s2＝． 因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)， 所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)． 设AC′与A′D所成角为θ，则 cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝＝＝． 故AC′与A′D所成角的余弦值为． 反思领悟　求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　【链接教材P36例7】 1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，异面直线PD与AC所成角的余弦值为，则AD＝(　　) A． C．2 D．3 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 C　[由题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图． 设AD＝a＞0，因为PA＝AB＝1， 所以A(0，0，0)，C(1，a，0)， P(0，0，1)，D(0，a，0)， ＝(1，a，0)，＝(0，a，－1)， 设异面直线PD与AC所成角为θ， 则cos θ＝＝＝， 即5a2＝4(a2＋1)， 即a2＝4，因为a＞0， 所以a＝2，即AD＝2． 故选C．] 【教材原题·P36例7】 例7　如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． [分析]　求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量用适当的基底表示出来，进而求得向量夹角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　化为向量问题 如图1.4-19，以{}作为基底，则 ＝＝＝)． 设向量与的夹角为θ，则直线AM和CN夹 角的余弦值等于|cos θ|． 进行向量运算 ＝)· ＝－＝＝． 又△ABC和△ACD均为等边三角形， 所以||＝||＝．所以cos θ＝＝＝． 回到图形问题 所以直线AM和CN夹角的余弦值为． 探究2　直线与平面所成的角 问题2　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ [提示]　不是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【教用·微提醒】　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [典例讲评]　2．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1，AA1＝AB＝2，点P是棱DD1上的一点，且DP＝2PD1． (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　(1)证明：连接BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知，B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，又∵AC⊥DB1，DB1∩B1B＝B1，DB1⊂平面DBB1，BB1⊂平面DBB1，∴AC⊥平面DBB1，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形． (2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(，0，0)，C(0，，0)，D1(0，0，2)，P， 所以＝＝ ＝(－，0，2)，设平面PAC的法向量为 n＝(x，y，z)， 则由n⊥，n⊥， 可得令z＝3，可得x＝y＝2， 故平面PAC的一个法向量为n＝(2，2，3)， 设直线AD1与平面PAC所成角的大小为θ，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 即直线AD1与平面PAC所成角的正弦值为． 反思领悟　利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量n． (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)． 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)为平面AEF的一个法向量． 设A1B与平面AEF所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝， 即A1B与平面AEF所成角的正弦值为． 探究3　两平面的夹角 问题3　两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ [提示]　两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 问题4　如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ [提示]　图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中__________的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 不大于90° 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【教用·微提醒】　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [典例讲评]　【链接教材P37例8】 3．已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝3，DE＝PE＝2，E是AD上一点，PE⊥AD．若AB⊥平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　连接CE，因为ED＝2，故AE＝1，又AD∥BC，AB＝BC＝1，所以AE∥BC，AE＝BC， 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB，又AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD， 而PE，ED⊂平面PAD，故CE⊥PE，CE⊥ED，而PE⊥ED， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 则＝＝＝＝， 设平面PAB的法向量为m＝， 则由 可得 取m＝， 设平面PCD的法向量为n＝， 则由可得取n＝，设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 故cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝， 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 【教材原题·P37例8】 例8　如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [分析]　因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可． [解]　化为向量问题 以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角． 进行向量运算 因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)． 根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)． 所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)． 设n2＝(x，y，z)，则 所以所以 取n2＝(3，4，2)，则 cos 〈n1，n2〉＝＝＝． 回到图形问题 设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为． 反思领悟　利用向量法求两个平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)分别求出两个面所在平面的法向量． (3)求两个法向量的夹角． (4)确定两平面夹角的大小． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　3．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E，F分别为CC1，A1B1的中点．求二面角A1-BE-F的正弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设AA1＝2AB＝4，则A1(2，0，4)，B(2，2，0)，E(0，2，2)，F(2，1，4)， ＝(0，2，－4)，＝(－2，2，－2)， ＝(0，－1，4)，＝(－2，0，2)， 设平面A1BE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝2，则z1＝1，x1＝1，∴n1＝(1，2，1)， 设平面BEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则y2＝4，x2＝＝(1，4，1)， ∴|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，∴＝， 即二面角A1-BE-F的正弦值为． 【教用·备选题】　(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D-AB-F的正弦值． 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　(1)证明：如图，连接DE，AE， 因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC． 因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB， 所以△ADB≌△ADC(SAS)． 可得AC＝AB，故AE⊥BC． 因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE． 又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA． (2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC． 不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2． 由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝． 因为AE⊥BC，所以AE＝＝． 在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED． 以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)． 设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)． 所以＝(，0，0)． 设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)． 设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)． 所以cos 〈m，n〉＝＝＝． 记二面角D-AB-F的大小为θ，则sin θ＝＝＝， 故二面角D-AB-F的正弦值为． 应用迁移 随堂评估自测 1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅ √ B　[两异面直线所成的角的取值集合为A＝，而直线与平面所成角的取值集合为B＝，则ACD错误，B正确．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于(　　) A．－ C．－ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 B　[异面直线l1，l2 的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)， 则a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝，|b|＝2， 则cos 〈a，b〉＝＝＝－，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于．故选B．] 3．(教材P43习题1.4T10(2)改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A． C． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 C　[设该正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，＝(0，0，1)， 易知平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1)． 设BB1与平面ACD1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝． 故选C．] 4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________． 　[cos θ＝＝＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 2．方法链：向量法、转化与化归． 3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用向量语言表述两条异面直线所成的角． [提示]　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝． 2．用向量语言表述直线和平面所成的角． [提示]　设直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 3．用向量语言表述平面和平面的夹角． [提示]　设平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 4．试总结用向量法求两平面的夹角的步骤． [提示]　(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 一、选择题 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　) A． C． 课时分层作业(十一)　用空间向量研究夹角问题 √ 56 D　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，则A1(1，0，1)，M，D(0，0，0)，N，则＝＝，cos 〈〉＝＝0， ∴〈〉＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A． C． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 58 D　[如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， ∴＝(－2，0，1)． 连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D， ∴平面BB1D1D的一个法向量为＝(－2，2，0)． ∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 |cos 〈〉|＝＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 59 3．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 60 B　[如图所示，建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)． 于是＝(0，1，0)，取PD的中点E， 则E， ∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈〉|＝， ∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 61 4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 62 B　[以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，过点O且垂直于平面SAB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos ∠BOC＝， 所以C(－2，1，0)， 所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)， 所以cos 〈〉＝＝＝， 所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 63 5．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝ (　　) A．1 B． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 64 C　[不妨设BC＝1，AB＝λ(λ＞0)，则＝λ．记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b．根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝， ∴|cos 〈〉|＝＝＝， 得λ＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 65 二、填空题 6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 66 　[以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设CC1＝2AC＝2BC＝2，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)， 可得＝(－1，2，1)，＝(0，2，－1)， 故＝4－1＝3，||＝＝， ||＝＝， 所以cos 〈〉＝＝， 所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 67 7．如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 ________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 68 　[如图所示，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，则＝(2，0，0)， ＝(2，0，－3)，＝(0，3，－3)， 设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量， 则 令z＝1，可得m＝， ∴|cos 〈，m〉|＝＝＝，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 69 8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为，则当CN最小时，∠AMB＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 70 　[建立空间直角坐标系，如图所示．设CN＝b(0≤b≤1)，BM＝a(0≤a≤1)，则M(1，0，a)，A(0，0，0)，N(0，1，b)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)， 设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 71 令z＝1，则n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)， 所以cos ＝＝＝，即3a2＋3b2＝1， 当CN最小时，b＝0，BM＝a＝，所以tan ∠AMB＝＝，所以∠AMB＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 72 三、解答题 9．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点． (1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值； (2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 73 [解]　(1)以D为原点，分别以方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)， ∴＝(1，1，－2)，＝(0，－1，－1)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 74 设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－2)， ∵F为BD1上靠近B的三等分点，∴＝， ∴(x，y，z－2)＝(1，1，－2)＝， ∴x＝，y＝，z＝，∴F， ∴＝，∴＝－， 设异面直线CF与C1E所成角为α且α∈， 则cos α＝＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 75 (2)由(1)可求得，＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，＝， 设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量， 则令x＝1， 则y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)， ∴n·＝＝－， 设直线CF与平面A1C1E所成角为β， 则sin β＝|cos 〈n，〉|＝＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 76 10．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，且PA＝AB＝BC＝AD＝2． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值； (3)求二面角B-PC-D的余弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 77 [解]　(1)证明：作CE⊥AB于E， ∵∠BAD＝120°，∴CE与AD必相交， 又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE⊥AB， ∴CE⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB， ∴CE⊥PA， 又PA⊥AD，CE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，CE与AD相交， ∴PA⊥平面ABCD． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 78 (2)在平面ABCD内作AF⊥AD交BC于F，则AF，AD，AP两两垂直， 以A为原点，以AF，AD，AP所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，F(，0，0)，B(，－1，0)，P(0，0，2)， ∴＝(，－1，－2)， ∵AF⊥平面PAD， ∴＝(，0，0)为平面PAD的一个法向量， 设直线PB与平面PAD所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝． ∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 79 (3)∵C(，1，0)，D(0，4，0)， ∴＝(，1，－2)，＝(－，3，0)，＝(0，2，0)， 设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)， ∴ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 80 ∴ 令x1＝2得m＝(2，0，)，令y2＝1得n＝(，1，2)． ∴|cos 〈m，n〉|＝＝＝． ∵二面角B-PC-D为钝角， ∴二面角B-PC-D的余弦值为－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 81 11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，AB＝BE＝2． (1)求证：BE⊥平面ABCD； (2)设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面 CEF所成角的正弦值为，求AH的长度． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　用空间向量研究夹角问题 82 [解]　(1)证明：因为四边形OBEF为矩形，所以OB⊥BE， 又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，BE⊂平面OBEF， 所以BE⊥平面ABCD． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 83 (2)如图，以点B为原点，建立空间直角坐标系， 则A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，2)，F(1，1，2)， 故＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)， ＝(1，－1，2)，＝(0，2，0)， 设平面CEF的法向量为n＝(a，b，c)， 则即 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 84 可取n＝(1，－1，1)，设AH＝λAF，λ∈[0，1]， 则＝＝＋λ＝(0，2，0)＋λ(1，－1，2)＝(λ，2－λ，2λ)， 故|cos 〈，n〉|＝＝＝， 解得λ＝或λ＝， 所以AH＝或AH＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 85 $$