1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标]　 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象) 2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理) 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？ 问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？ 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 探究建构 关键能力达成 探究1　空间中点和直线的向量表示 问题1　在空间中，如何确定一条直线？ [提示]　两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [新知生成] 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝________． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝___________． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的_________唯一确定． t ＋t 方向向量 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 【教用·微提醒】　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA′；(2)BD′． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [解]　由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)． (1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．(答案不唯一) (2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．(答案不唯一) 反思领悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学以致用]　1．在如图所示的空间直角坐标系中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为___________，直线BC1的一个方向向量为____________________． (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 (0，0，1)　 (0，1，1)(答案不唯一)　[∵DD1∥AA1，＝(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)． ∵BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．] 探究2　空间中平面的向量表示 问题2　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ [提示]　存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb． 问题3　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ [提示]　存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [新知生成] 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得_______________． ＝xa＋yb 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝_______________．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个______向量唯一确定． ＋x＋y 不共线 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的______．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 法向量 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 【教用·微提醒】　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [典例讲评]　【链接教材P28例1】 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝． 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．(答案不唯一) [母题探究]　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． [解]　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量． 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即所以令y＝1，则z＝． 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)．(答案不唯一) 【教材原题·P28例1】 例1　如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [分析]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． [解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量． (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．因此 ＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)． 设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则 n2⊥，n2⊥． 所以所以 取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量． 发现规律　如何确定平面的法向量？ [提示]　按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组，并求解． (4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (5)得结论：得到平面的一个法向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学以致用]　2．已知＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，写出平面ABC的一个法向量n＝_________________________． (2，－2，1)(答案不唯一)　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，则y＝－2，x＝2， 所以n＝(2，－2，1)是平面ABC的一个法向量． 故答案为(2，－2，1)(答案不唯一)．] (2，－2，1)(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面A1BC的法向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)， 故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则n＝(1，1，0)， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)．(答案不唯一) (2)设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)． 因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)， 则令a＝1，则m＝， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝．(答案不唯一) 【教用·备选题】　已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量． [解]　由已知得SA，AB，AD两两垂直， ∴以A为坐标原点，的方向分别为x轴、 y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 ∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝， ∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，∴＝＝(1，1，－1)，＝． 易知平面SAB的一个法向量为＝． 设平面SDC的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝2，y＝－1，∴平面SDC的一个法 向量为m＝(2，－1，1)．(答案不唯一) 应用迁移 随堂评估自测 1．(教材P29练习T2改编)已知点P(0，1，0)，Q(－2，0，1)，则直线PQ的一个方向向量可以为(　　) A．(－2，－1，－1) B．(1，－2，1) C．(4，2，－2) D．(4，－2，2) √ C　[＝(－2，－1，1)，则直线PQ的方向向量为λ＝(－2λ， －λ，λ)(λ≠0)． 所以C符合题意，故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) √ D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 3．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(　　) A．(1，0，0) B．(0，1，0) C．(0，0，1) D．(1，1，1) √ B　[因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0)．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________． x＋2y－3z＝0　[由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2， －3)＝0，故x＋2y－3z＝0．] x＋2y－3z＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1．知识链：     2．方法链：待定系数法、赋值法． 3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？ [提示]　在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则或就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个． 2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？ [提示]　共线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 3．如何求一个平面的法向量？ [提示]　(1)设法向量n＝(x，y，z)． (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 一、选择题 1．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对 课时分层作业(七)　空间中点、直线和平面的向量表示 √ 39 A　[由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n＝＋n()＝＋n， 由此可知，A，P，B三点共线．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是 (　　) A．(3，2，1) B．(－2，5，4) C．(－3，4，5) D．(2，－4，8) √ B　[对于B，若点P(－2，5，4)，则＝(－3，3，1)，则n·＝－3＋3＋1＝1≠0，所以点(－2，5，4)不在平面α内．其余选项可逐一验证．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 41 3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是(　　) A．(1，1，1) B．(－1，1，1) C．(1，－1，1) D．(1，1，－1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 42 A　[如图，由题可得，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)， 则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)， 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝1，y＝1， 所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 43 4．阅读下面材料，在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为m＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为＝＝．根据上述材料，解决下面问题：直线l是两个平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则l的一个方向向量是(　　) A．(2，1，4) B．(1，3，5) C．(1，－2，0) D．(2，0，－1) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 44 A　[设直线l的一个方向向量为n0＝(x，y，z)， 平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的一个法向量分别为＝(1，－2，0)和m2＝(2，0，－1)， 则 不妨取x＝2，则n0＝(2，1，4)． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 45 5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　) A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 46 BCD　[对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)× (－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B∉平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C∉平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D∉平面α．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 47 二、填空题 6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 －20　12　[∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12．] －20 12 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 48 7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体． ①直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面B1C1CB的一个法向量为(－1，0，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)． 则上述结论正确的是 ________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 ①②③ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 49 ①②③　[根据题意，不妨设正方体的棱长为1， 则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，B(1，0，0)， 对于①，＝(0，0，1)，则直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)，正确； 对于②，＝(0，1，1)，则直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)，正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 50 对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而＝(1，0，0)， 故 (－1，0，0)可作为平面B1C1CB的一个法向量，即③正确； 对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为CD⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB， 则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，且CD，B1C⊂平面B1CD，故BC1⊥平面B1CD， 而＝(0，1，1)，即可作为平面B1CD的一个法向量，故④错误． 故答案为①②③．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 51 8．平面α上三个点A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，写出平面α的一个法向量为 _______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (2，1，2)(答案不唯一)　[根据题意，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由于A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)， 则有令x＝2，可得y＝1，z＝2，故m＝(2，1，2)． 故平面α的一个法向量为(2，1，2)． 故答案为(2，1，2)(答案不唯一)．] (2，1，2)(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 52 三、解答题 9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)， ∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 53 (2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则＝0， ∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0， ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0， 化简得x－y＋z－2＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 54 10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　　) A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 55 B　[设AB＝2，由题意知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)． 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 56 11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ A　[＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则即 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 57 ①＋②得－4b＋3c＝0， 令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)． ∵n⊥，∴n·＝0， 即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0， ∴x＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 58 12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心，点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，则点F所在的棱可以是 (　　) A．AD B．CD C．CC1 D．DD1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 59 B　[由题可得，B(2，0，0)，E(1，1，2)，设F(x，y，z)，0≤x，y，z≤2， 所以＝(－1，1，2)，＝(x－2，y，z)． 因为平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)， 所以即8x＋2y＋3z－16＝0， 若F在AD上，则x＝0，z＝0，y＝8，不符合题意，故F不在AD上； 若F在CD上，则x＝，y＝2，z＝0，符合题意，故F在CD上； 若F在CC1上，则x＝2，y＝2，z＝－，不符合题意，故F不在CC1上； 若F在DD1上，则x＝0，y＝2，z＝4，不符合题意，故F不在DD1上．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 60 13．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (1，2，1)(答案不唯一)　[根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0， 则平面α的一个法向量为(1，2，1)．] (1，2，1)(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 61 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动． (1)证明：D1E⊥A1D； (2)求平面ACD1的法向量． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 62 [解]　(1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3， 所以＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0， 所以⊥，所以D1E⊥A1D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 63 (2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)， 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，则n＝(3，1，3)． 所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 64 $$