第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 下册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了随机变量、随机变量的分布列、离散型随机变量的均值与方程、二项分布与正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 判断随机试验中的随机变量 1 考点二 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 2 考点三 简单的离散型随机变量分布列 3 考点四 由随机变量的分布列求概率 5 考点五 离散型随机变量的均值与方差 6 考点六 独立事件的判断 6 考点七 相互独立事件与互斥事件 7 考点八 独立重复试验 8 考点九 利用二项分布求分布列 9 考点十 二项分布的均值与方差 9 考点十一 正态分布 10 考点一 判断随机试验中的随机变量 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为（    ） A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 考点二 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 3．下列随机变量是离散型随机变量的是（    ） ①抛2颗骰子得到的点数和；②某水文站一天中观察到的水位高度（单位：）；③某人的手机在一天内被拨打的次数；④某地一年内下雨的天数；⑤某首歌曲被点播的次数. A．① B．② C．②③ D．①③④⑤ 4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 考点三 简单的离散型随机变量分布列 5．袋中有2个红球，3 个白球，这些小球除颜色外均相同，现从袋中随机取出2 个球，设取到红球的个数为X，求X的概率分布. 6．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽到次品数的分布列； (2)放回抽样时，抽到次品数的分布列． 考点四 由随机变量的分布列求概率 7．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 考点五 离散型随机变量的均值与方差 9．已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 则的均值 ，方差 . 10．已知随机变量的分布列见表，若，则（    ） 3 A．4 B．5 C．6 D．7 考点六 独立事件的判断 11．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 12．将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 考点七 相互独立事件与互斥事件 13．已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 14．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 考点八 独立重复试验 15．独立重复试验满足的条件是 .（填序号） ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的. 16．小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（    ） A． B． C． D． 考点九 利用二项分布求分布列 17．已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A． B． C． D． 18．甲，乙两队进行篮球比赛，甲队每场胜率为0.6，如果两队赛3场，甲队恰好胜1场的概率为（    ） A． B． C． D． 考点十 二项分布的均值与方差 19．已知随机变量，且，则 . 20．离散型随机变量，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点十一 正态分布 21．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 22．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是（    ） A．由确定，越大，曲线越“矮胖” B．由确定，越大，曲线越“矮胖” C．由确定，越大，曲线越“瘦高” D．由确定，越大，曲线越“瘦高” 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了随机变量、随机变量的分布列、离散型随机变量的均值与方程、二项分布与正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 判断随机试验中的随机变量 1 考点二 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 2 考点三 简单的离散型随机变量分布列 3 考点四 由随机变量的分布列求概率 5 考点五 离散型随机变量的均值与方差 6 考点六 独立事件的判断 6 考点七 相互独立事件与互斥事件 7 考点八 独立重复试验 8 考点九 利用二项分布求分布列 9 考点十 二项分布的均值与方差 9 考点十一 正态分布 10 考点一 判断随机试验中的随机变量 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为（    ） A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 【答案】B 【分析】根据随机变量的概念求解即可. 【详解】选项A.掷硬币的次数是1次，是确定的，不是随机变量. 选项B.出现正面向上的次数为0或1，是随机变量. 选项C.正面向上或反面向上的次数是1次，是确定的，不是随机变量. 选项D.正面向上与反面向上的次数之和是1次，是确定的，不是随机变量. 故选：B. 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 【答案】D 【分析】由随机变量的定义可知结果． 【详解】由随机变量的定义可知，表示所得点数之和为5， 试验的结果是：一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点． 故选：D． 考点二 离散型随机变量与连续性随机变量的区分 3．下列随机变量是离散型随机变量的是（    ） ①抛2颗骰子得到的点数和；②某水文站一天中观察到的水位高度（单位：）；③某人的手机在一天内被拨打的次数；④某地一年内下雨的天数；⑤某首歌曲被点播的次数. A．① B．② C．②③ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的概念判断即可. 【详解】①抛2颗骰子得到的点数和：取值为，可——列出，是离散型随机变量， ②某水文站一天中观察到的水位高度：取值是区间内连续实数，无法一一列出，不是离散型随机变量， ③某人手机一天内被拨打次数：取值为，可——列出，是离散型随机变量， ④某地一年内下雨天数：取值为，可——列出，是离散型随机变量， ⑤某首歌曲被点播次数：取值为，可——列出，是离散型随机变量. 故选：D. 4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的定义逐项判别选项. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量. 故选：C． 考点三 简单的离散型随机变量分布列 5．袋中有2个红球，3 个白球，这些小球除颜色外均相同，现从袋中随机取出2 个球，设取到红球的个数为X，求X的概率分布. 【答案】 【分析】根据题意列出可以取到红球个数的情况，再求出对应的概率易得答案. 【详解】因为袋中有2个红球，3个白球，这些小球除颜色外均相同，现从袋中随机取出2个球， 所以取到红球的个数为， 所以， ， ， 所以X的概率分布为 6．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽到次品数的分布列； (2)放回抽样时，抽到次品数的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意列车随机变量的分布列即可； （2）根据随机变量服从二项分布，求解分布列即可； 【详解】（1）随机变量可以取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 P （2）由题意，放回抽样，则每次抽取都是独立事件，且抽到次的概率为， 所以随机变量服从二项分布，可以取0，1，2，3． 所以， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 考点四 由随机变量的分布列求概率 7．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得的值，再利用概率的加法公式计算即可. 【详解】根据分布列的性质，有，则. 所以. 故选：D. 8．已知随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】/ 【分析】先根据分布列的性质求出的值，再根据期望公式计算 【详解】根据分布列的性质：所有概率之和为1， 即，解得， 因此. 故答案为：. 考点五 离散型随机变量的均值与方差 9．已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 则的均值 ，方差 . 【答案】 2 /0.8 【分析】按照均值与方差的公式计算即可. 【详解】由题可知：， . 故答案为：2，0.8 10．已知随机变量的分布列见表，若，则（    ） 3 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】离散型随机变量分布列中所有概率之和为1， 由分布列可知，，解得， 所以期望值，解得， 故选：. 考点六 独立事件的判断 11．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 【答案】C 【分析】根据独立事件，与互斥事件的概念，以及古典概型的概率公式逐项分析即可. 【详解】对于A，B，抛掷两枚质地均匀的硬币， 所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}， 其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况， 事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况， ，，A正确，B正确； 事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误； 事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确. 故选：C. 12．将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】由题意知，，，， 由于，所以甲与丁相互独立． 故选：B 考点七 相互独立事件与互斥事件 13．已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 14．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解. 【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况， 即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中， 因此恰有1次命中的概率为， 故选：A. 考点八 独立重复试验 15．独立重复试验满足的条件是 .（填序号） ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的. 【答案】①②③ 【分析】根据独立重复试验的定义判断①②③④的正确性即可得正确答案. 【详解】在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，每次试验只有发生和不发生两种情况，每次试验中发生的机会是均等的，那么一般就称它们为次独立重复试验，所以①②③正确，④不正确， 故答案为：①②③. 16．小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的计算公式即可求解. 【详解】小航跳绳恰好成功2次的概率为. 故选：A. 考点九 利用二项分布求分布列 17．已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 18．甲，乙两队进行篮球比赛，甲队每场胜率为0.6，如果两队赛3场，甲队恰好胜1场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的概率公式即可得解. 【详解】依题意，记甲队胜利场次为，则， 所以甲队恰好胜1场的概率为. 故选：A. 考点十 二项分布的均值与方差 19．已知随机变量，且，则 . 【答案】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可. 【详解】因为随机变量， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 20．离散型随机变量，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合二项分布的期望与方差公式即可得解. 【详解】由题意知，，且， 所以，解得. 故选：. 考点十一 正态分布 21．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量，且， . 故选：A. 22．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是（    ） A．由确定，越大，曲线越“矮胖” B．由确定，越大，曲线越“矮胖” C．由确定，越大，曲线越“瘦高” D．由确定，越大，曲线越“瘦高” 【答案】A 【分析】利用正态曲线的性质即可得解. 【详解】根据正态曲线的性质，决定曲线的位置和对称性； 曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”. 故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$