课时作业12 数学归纳法〈选学〉（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十二)　数学归纳法〈选学〉 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 解析：选D　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 2．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是(　　) A．p(n)对所有自然数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的自然数n都成立 解析：选B　初始值n＝2为偶数，而由p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立就可以判断n取所有正偶数时p(n)均成立．选B. 3．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于(　　) A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3 解析：选D　当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11，① 当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.② 由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合． 4．证明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　) A．1项 B．k－1项 C．k项 D．2k项 解析：选D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋； 当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项． 5．已知8＞7，16＞9，32＞11，…，则有(　　) A．2n＞2n＋1 B．2n+1＞2n＋1 C．2n+2＞2n＋5 D．2n+3＞2n＋7 解析：选C　由8＞7，16＞9，32＞11可知 第一项为8＞7⇒21+2＞2×1＋5， 第二项为16＞9⇒22+2＞2×2＋5， 第三项为32＞11⇒23+2＞2×3＋5， 以此类推第n项为2n+2＞2n＋5. 6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________． 解析：∵210＝1024>103 ，29＝512<93， ∴第一个值n0最小应当是10. 答案：10 7．证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． 8．考察下列各式： 2＝2×1 3×4＝4×1×3 4×5×6＝8×1×3×5 5×6×7×8＝16×1×3×5×7 你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？ 解：由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…， 猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n×1×3×5×…×(2n－1). 下面利用数学归纳法进行证明， 证明：(1)当n＝1时，显然成立； (2)假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)×(k＋2)×(k＋3)×…×2k ＝2k×1×3×5×…×(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)×(k＋1＋2)×(k＋1＋3)×…×2(k＋1) ＝(k＋1)×(k＋2)×…×2k×(2k＋1)×2 ＝2k×1×3×5×…×(2k－1)×(2k＋1)×2 ＝2k+1×1×3×5×…×(2k＋1) ＝2k+1×1×3×5×…×[2(k＋1)－1]， 所以当n＝k＋1时等式成立． 根据(1)(2)可知，对任意正整数等式均成立． [能力提升练] 9．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题不一定成立的是(　　) A．若f (1) <2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f (1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析：选ABC　根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0 ＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立． 10．(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是(　　) A．假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立 B．假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立 C．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立 D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立 解析：选BD　因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故B，D正确． 11．设S1＝12，S2 ＝12 ＋22 ＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为________． 解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋32＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，比较上述两式知，应添加的项为(k＋1)2＋k2. 答案：(k＋1)2＋k2 12．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________． 解析：本题在由n＝k成立，证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 答案：未用归纳假设 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a≠0. (1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解：(1)因为Sn是2a与－2nan的等差中项， 所以Sn＝a－nan. 由a1＝S1＝a－a1，则a1＝a； 由a1＋a2＝a－2a2，则a2＝a； 由a1＋a2＋a3＝a－3a3，则a3＝a. (2)猜想an＝a. 证明：①当n＝1时，a1＝a，猜想成立． ②假设n＝k(其中k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝a， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－a＋kak， 所以(k＋2)ak＋1＝kak＝k·a， 即ak＋1＝a， 所以当n＝k＋1时，猜想也成立， 由①②知，对任意n∈N＋，猜想an＝a都成立． [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥. (1)求a的值； (2)设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋.证明an＜. 解：(1)由于f(x)＝ax－x2的最大值不大于， 所以f＝≤，即a2≤1.① 又当x∈时f(x)≥， 所以即 解得a≥1.② 由①②得a＝1. (2)证明：①当n＝1时，0＜a1＜，不等式0＜an＜成立． 因为f(x)＞0，x∈， 所以0＜a2＝f(a1)≤＜， 故当n＝2时不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2)时， 不等式0＜ak＜成立， 因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝， 所以f(x)在上为增函数， 所以由0＜ak＜≤ 得0＜f(ak)＜f， 于是有0＜ak＋1＜－·＋－＝－＜， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$