第1章 5 数学归纳法〈选学〉（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§5　数学归纳法〈选学〉 学习目标 素养要求 1.了解数学归纳法的原理． 2．掌握数学归纳法的步骤． 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　数学归纳法 [问题]　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ 答：需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． ►知识填空 1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立． (2)假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 2．数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立的原因 下面以n0＝1时的情况加以说明．根据数学归纳法证明命题的步骤(1)，证明了当n＝1时命题成立；根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝1＋1＝2时命题成立．由于n＝2时命题成立，再根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝2＋1＝3时命题也成立，这样递推下去，就可以知道当n＝4，5，…时命题也成立．即命题对任意正整数n都成立． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1.(　　) (2)与自然数n有关的问题只能用数学归纳法来进行证明.(　　) (3)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．(　　) (4)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项. (　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n＝1时，f(n)等于(　　) A．1　　　　　　　 　B． C．1＋＋ D．以上都不对 解析：选C　f(1)＝1＋＋. 3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1时，等式左边是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C. 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. 答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 题型一　用数学归纳法证明等式 [例 1]　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝＋＋…＋＋＋， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 　　 　用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝. 证明：(1)当n＝1时左边＝，右边＝ ，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立， 即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得，对于任意的n∈N＋等式都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 [例 2]　用数学归纳法证明：＋＋…＋＞1－＋－＋…＋－(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1－＝，左边>右边，所以不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立， 即＋＋…＋>1－＋－＋…＋－. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>1－＋－＋…＋－＋>1－＋－＋…＋－＋＝1－＋－＋…＋－＋－， 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，不等式对任何n∈N＋都成立． 用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．　　 　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2. 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋＜2＋ ＝<＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 题型三　归纳—猜想—证明 [例 3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 解：(1)a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…， 猜想an＝. 证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即ak＝， 那么当n＝k＋1时，由题设an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝. Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－， 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． “归纳—猜想—证明”的解题步骤 　　 　已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明． 解：S1＝a1＝－， S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－， S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－， S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 猜想：Sn＝－(n∈N＋). 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－， 右边＝－＝－. ∵左边＝右边，∴原等式成立． (2)当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， 假设Sk＝－成立， 由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得 ＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，原等式也成立． 综合(1)(2)得，对一切n∈N＋，Sn＝－成立． [课堂小结] 1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明． 2．应用数学归纳法时应注意 (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可； (2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$