第1章 3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用(习题课) 学习目标 素养要求 1.通过实例理解并掌握数列求和的常用方法． 2．能综合运用等比数列的知识解决一些实际问题． 1.通过数列求和培养数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．通过等比数列知识的实际应用，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　从函数的角度认识等比数列的通项公式 [问题]　已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1. (1)作出数列{an}的图象． (2)指出数列{an}的增减性． 答：(1)显然数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．又an＝2n-1＝×2n.其图象为 (2)数列{an}为递增数列． ►知识填空 从函数角度认识等比数列 (1)等比数列的图象 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn-1，还可以改写为an＝·qn，当q≠1，且a1≠0时，y＝qx是一个指数函数，而y＝·qx是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一些孤立的点． (2)等比数列的增减性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； ④当q<0时，等比数列{an}的所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号． 显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多． 知识点二　错位相减法 ►知识填空 错位相减法求和的步骤 　步骤1→写出Sn＝a1＋a2＋…＋an； 步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan(q≠1)； 步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤4→两边同除以1－q，求出Sn. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{22-n}是递减数列．(　　) (2)数列的前n项和不能用错位相减法求和．(　　) (3)数列的前5项和为.(　　) (4)数列的最大值为，最小值为－.(　　) 提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n-1，…的前99项和为(　　) A．2100－101　　　 　　B．299－101 C．2100－99 D．299－99 解析：选A　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1， 所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：选B　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列， 记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2， 依题意，得＝ 381，解得a1＝3. 4．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2 ＋a4，则数列的前4项和为________． 解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4， ∴3q2＝2q＋q3. 又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n-1， ∴＝， 即是首项为，公比为的等比数列， ∴数列的前4项和为＝. 答案： 题型一　等比数列前n项和的实际应用 [例 1]　我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而莞草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和莞草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第_______天，蒲草和莞草高度相同．(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，结果精确到0.1) 解：设第n天蒲草和莞草高度相同． 由题意可得＝，即2n＋＝7， 解得2n＝6，2n＝1(舍去). 所以n＝＝1＋≈2.6. 所以估计第2.6日蒲草和莞草高度相同． 答案：2.6 应用等比数列前n项和公式解决 实际问题的步骤 (1)构建数列模型． (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q. (3)利用等比数列前n项和公式进行计算．　　 　国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年) 解：设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩． 则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…， an＝515(1＋12%)n，…． Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝＝6 370－515， 所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12， 即1.12n≈2.218. 又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8. 故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划． 题型二　错位相减法求和 [例 2]　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3 ＝12，b3＝a4－2a1 ，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N＋). 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 等比数列{bn}的公比为q. 由已知得：b2＋b3＝12，即b1(q＋q2)＝12， 又b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 因为q>0，所以q＝2，所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，S11＝11b4， 得3d－a1＝8，a1＋5d＝16， 联立解得，a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2， 所以，{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n－2，bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n-1， 有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n+1， 上述两式相减，得－3Tn ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n+1 ＝－4－(3n－1)×4n+1 ＝－(3n－2)×4n+1－8. 得Tn＝×4n+1＋. 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n+1＋. 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*). (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)， 即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1. ∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1. (2)由(1)知bn＝(n＋1)·3n，则 Tn＝2·3＋3·32＋4·33＋…＋n·3n-1＋(n＋1)·3n，① 3Tn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋n·3n＋(n＋1)·3n+1，② ①－②，得－2Tn＝2·3＋32＋33＋34＋…＋3n－(n＋1)·3n+1＝3＋－(n＋1)·3n+1＝·3n＋， ∴Tn＝·3n－. 题型三　分组求和法 [例 3]　在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1；等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{bn}的公差为d. 由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d， 故 解得或(舍去) 所以an＝3n，bn＝2n＋1. (2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， 当n为偶数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n-1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n＝n＋－＝＋n－； 当n为奇数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n-2(2n－3)＋(－1)n-1(2n－1)]＋(－1)n(2n＋1)＋3＋32＋…＋3n＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－. 所以Sn＝ 分组转化法求和的常见类型 (1)an＝bn±cn，{bn}，{cn}为等差或等比数列． (2)an＝{bn}，{cn}为等差或等比数列． [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　　 　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n+1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2. [课堂小结] 1．等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一些孤立的点，因此可借助函数y＝·qx来研究数列{an}的增减性． 2．求数列的前n项和，一般有下列几种方法． (1)错位相减法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (2)分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)奇偶并项法 当数列通项中出现(－1)n或(－1)n+1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$