第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学习目标 素养要求 1.掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的求和问题． 2．掌握等比数列前n项和的性质，并能综合应用． 1.通过等比数列前n项和公式推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助等比数列求和的综合应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列前n项和公式 [问题]　如何求等比数列{an}的前n项和Sn? 答：设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn. Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1.① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn.② 由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝； 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. ►知识填空 等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn＝ Sn＝ 　　在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.　　 [拓展]　Sn是数列{an}的前n项和．{an}是公比不等于1的等比数列⇔Sn＝Aqn＋B，且A＋B＝0. 知识点二　等比数列前n项和的性质 [问题 1]　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？ 答：Sm＋n＝Sm＋qmSn. 证明如下： 左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm ＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm) ＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm ＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn. [问题 2]　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0.则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？ 答：∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…. ∴当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列． ►知识填空 1．前n项和性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为qn． 2．项的个数的“奇偶”性质 在等比数列{an}中，公比为q. (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； (2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，，，…，的各项和等于2.(　　) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an-1＝.(　　) (4)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n-1＝.(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　) A．－63　　　　　　　B．31 C．－31 D．63 解析：选D　S6＝＝26－1＝64－1＝63. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C　由题意知公比q≠1， 则S3＝＝a1q＋10a1， 得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a11＝. 4．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________． 解析：因为q≠1，所以S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4. 答案：3或－4 题型一　等比数列前n项和的基本计算 [例 1]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　) A．29　　　　　　　B．31 C．33 D．36 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________． 解析：(1)因为数列{an}是等比数列， 由a2·a3＝2a1得a1q·＝a1·a4＝2a1， 所以a4＝2. 因为a4与2a7的等差中项为， 所以a4＋2a7＝，故有a7＝. 所以q3＝＝，所以q＝， 所以a1＝＝16. 所以S5＝＝31. (2)当q＝1时，显然不符合题意； 当q≠1时， 解得则a8＝×27＝32. 答案：(1)B　(2)32 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换． [提醒]　两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．　　 1．在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝，那么它的前5项和S5的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A　S5＝＝＝. 2．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________． 解析：设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. ∴Sn＝＝2n+1－2. 答案：2　2n+1－2 题型二　等比数列前n项和性质的应用 [例 2]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48, S2n＝60，则S3n＝________． (2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，则前12项的和为________． 解析：(1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63. (2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16， 所以S8＝17. 又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 即162＝S12－17，所以S12＝273. 答案：(1)63　(2)273 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．　　 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________． 解析：由条件得S6＝3S3，故S6－S3＝2S3， 又S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 且S6－S3＝2S3， 故S9－S6＝4S3， 所以S9＝7S3，所以＝＝. 答案： 2．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1＋a，则a＝______． 解析：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1＋a， 所以a1＝S1＝9＋a， a2＝S2－S1＝(27＋a)－(9＋a)＝18， a3＝S3－S2＝(81＋a)－(27＋a)＝54， 因为等比数列{an}中，a＝a1a3， 所以182＝(9＋a)×54， 解得a＝－3. 答案：－3 题型三　等比数列前n项和的综合应用 [例 3]　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝n ln 2. (2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n+1－2. 等比数列前n项和的应用技巧 (1)求和时注意利用定义判断数列是否为等比数列，确定首项与公比是关键． (2)等比数列的前n项和的应用往往结合等差数列的项的性质，要综合应用数列知识解题．　　 　已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：(1)设等差数列{an}公差为d， 因为a2＋a4＝2a3＝10， 所以a3＝5＝1＋2d， 所以d＝2，所以an＝2n－1. (2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9， 所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1为首项， q′＝q2＝3为公比的等比数列， 所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝. [课堂小结] 1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算． 2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．在等比数列前n项和的相关计算中，注意合理利用性质，简化运算． 3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$