第五章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 上册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程的形式、直线与圆锥曲线的位置关系等常见考点。 第五章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 2．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 5．椭圆的离心率是（   ）． A． B． C． D． 6．已知点M到抛物线的焦点F的距离为5，则点M到该抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知椭圆C：的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．双曲线的焦距是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 9．若椭圆的两焦点为，点P是该椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．16 B．10 C．8 D．18 10．焦点在轴上，实轴长为8，虚轴长为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 13．已知椭圆（）的左焦点为，则（    ） A． B． C． D． 14．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．若椭圆短轴上的两顶点与椭圆的一个焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D．2 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 17．双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 18．过双曲线的一个焦点且与x轴垂直的弦长为 ． 19．抛物线的焦点坐标是 ． 20．已知抛物线上一点到焦点的距离为为坐标原点，则的面积为 ． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且经过点． 22．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程. 23．已知双曲线的焦点的坐标为，且经过点，求双曲线的标准方程. 24．已知双曲线的焦点位于轴上，顶点为，，且该双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)在双曲线上有一点，它到左焦点的距离为2，求到右焦点的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程的形式、直线与圆锥曲线的位置关系等常见考点。 第五章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可； 【详解】因为椭圆可知，， 所以由椭圆的定义可知，椭圆上一点到两焦点的距离的和为， 因为点P到一个焦点的距离为3， 则点P到另一个焦点的距离为． 故选：B 2．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 3．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出的值，即可求解焦点坐标和准线方程. 【详解】因为抛物线方程为， 所以，，焦点在轴的正半轴上， 则焦点为，准线方程为． 故选：A. 4．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的性质确定的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为 解得或，即的取值范围是或， 故选：B. 5．椭圆的离心率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得到，再代离心率公式求解即可. 【详解】椭圆即， 则，， 则离心率. 故选：C. 6．已知点M到抛物线的焦点F的距离为5，则点M到该抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义可求. 【详解】点M到抛物线的焦点F的距离为5， 由抛物线定义可知，点M到该抛物线准线的距离也为5. 故选： D. 7．已知椭圆C：的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆长轴长是短轴长的3倍，以及的关系，即可求解. 【详解】椭圆C：的长轴长是短轴长的3倍， 则， 离心率． 故选：D. 8．双曲线的焦距是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，即可求解焦距的值. 【详解】将双曲线的方程化为标准方程为， ∵含项的系数为正数， ∴双曲线的焦点在轴上，且，， ∴，∴，， ∴双曲线的焦距为6. 故选:A. 9．若椭圆的两焦点为，点P是该椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．16 B．10 C．8 D．18 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程求出a、b，再根据求得c的值，即可求出结果. 【详解】解：由椭圆方程整理为. 则， 所以，则， 所以的周长为. 故选：A. 10．焦点在轴上，实轴长为8，虚轴长为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出，代入双曲线标准方程，即可求解. 【详解】∵焦点在轴上，设双曲线的标准方程为． 由题意得，， ∴，， ∴双曲线的标准方程为． 故选：C. 11．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率，结合之间的关系，可求出的值，继而求出渐近线方程． 【详解】因为双曲线的离心率为， 即， 所以， 所以， ， 所以渐近线方程为． 故选：B． 12．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程确定右焦点坐标，由直线斜率和过右焦点写出直线方程，与椭圆方程联立解得交点坐标，进而求得线段长度. 【详解】已知椭圆方程，则，焦点在轴上， 可得右焦点， 直线经过点且倾斜角为，该直线斜率为， 故直线的方程为， 把直线方程代入椭圆方程中，得 ， 即， 解得，，这是两个交点、的横坐标，令，， 点、的纵坐标分别为，， 所以线段的长为， 故选：D. 13．已知椭圆（）的左焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦点坐标，得，结合椭圆中的关系，即可求解. 【详解】因为椭圆（）的左焦点为，焦点在轴上， 所以，即， 故. 故选：C. 14．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据直线垂直于轴，以及交抛物线的弦长，得到交点坐标和直线方程，结合抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴，交抛物线于两点，且， 所以， 代入抛物线，即，故直线为， 抛物线的焦点为，准线为， 即抛物线的焦点到直线的距离是， 故选：D 15．若椭圆短轴上的两顶点与椭圆的一个焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由椭圆的定义和性质知,利用及即可得出. 【详解】解：    如图：A是椭圆的一个焦点，是短轴的两端点， 由题意知， 在直角三角形中， 根据椭圆的定义和性质可知，，， 则， 所以，则， 所以， 则. 故选：B. 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程中，列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 17．双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 【答案】 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，得到实轴长与虚轴长，即可求解. 【详解】∵双曲线的标准方程为， ∴，，即，. ∴实轴长与虚轴长之比． 故答案为：. 18．过双曲线的一个焦点且与x轴垂直的弦长为 ． 【答案】3 【分析】利用双曲线通径的长度，结合双曲线标准方程即可得解. 【详解】过双曲线焦点且垂直于x轴的弦长为双曲线的通径，长度为， 而可化为，得， 则所求长度为． 故答案为：3. 19．抛物线的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】将抛物线转化为标准方程再根据公式求焦点坐标. 【详解】将抛物线转化为标准方程， ∴焦点在轴的正半轴上，， ∴，， ∴焦点坐标为， 故答案为: . 20．已知抛物线上一点到焦点的距离为为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】先求得点的横纵坐标，再计算的面积. 【详解】    抛物线方程为，由抛物线的定义可得，即， 代入抛物线方程，得， 则． 故答案为：. 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且经过点． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据准线在y轴上、顶点在原点和抛物线方程，利用准线方程得出结果. （2）已知顶点和经过点，可设方程或，代入得出结果. 【详解】（1）设抛物线方程为，准线方程为，代入得， 故方程为. （2）设方程为或，且经过点， 代入得或， 故方程为或. 22．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据椭圆的定义以及之间的关系求解即可. （2）首先设出椭圆的标准方程，再将点代入求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 因为，，所以，所以， 所以所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的一般方程为（，，）， 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 23．已知双曲线的焦点的坐标为，且经过点，求双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与性质求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点坐标为，焦点在轴上，且经过点， 所以， 所以，且， 所以. 所以双曲线方程为：. 24．已知双曲线的焦点位于轴上，顶点为，，且该双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)在双曲线上有一点，它到左焦点的距离为2，求到右焦点的距离. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由双曲线的顶点可求解a的值，再由渐近线方程可求解b的值，再由焦点位置即可求解标准方程. （2）根据双曲线的定义即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的顶点为，， 则，可得， 又焦点在轴上，渐近线方程为， 则，可得，解得，即， 所以双曲线的标准方程为. （2）由双曲线定义可知， 即，解得或（舍去）， 所以到右焦点的距离为8. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$