第四章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 上册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的单元测试卷，主要考查了平面向量的基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的平行与垂直、平面向量的内积等常见考点。 第四章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 2．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 4．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 5．已知与共线，则实数（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．已知向量，满足，， ，则(    ) A．0 B． C．4 D．8 7．判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 9．向量，且，则（   ） A．2 B． C． D． 10．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 11．已知向量与不共线，则，的关系是（    ） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法确定 12．若不共线，且，则（   ） A． B． C． D． 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 14．已知向量，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 15．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16． ． 17．已知的三个顶点，则点D的坐标是 ． 18．在边长为2的正三角形中， 19．已知向量，满足，则与的夹角为 ． 20．已知单位向量与的夹角为，那么 ． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（10分）已知向量，，求： (1)； (2). 22．（10分）已知向量，，，，且，求 (1)的值； (2)与的夹角. 23．（10分）已知点、，向量，． (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若向量与平行，求实数的值． 24．（10分）在中， 角的对边分别为且. (1)求的值； (2)若 ，求和的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的单元测试卷，主要考查了平面向量的基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的平行与垂直、平面向量的内积等常见考点。 第四章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 2．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的坐标表示列等式求值即可. 【详解】已知，， 由，得，， . 故选：B. 3．已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由向量模的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，所以． 故选：C. 4．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 5．已知与共线，则实数（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】与共线， 所以，解得. 故选：D. 6．已知向量，满足，， ，则(    ) A．0 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用条件，将平方后再开方，进而求解. 【详解】 ，，， . 故选：B. 7．判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据向量的模与相等向量、共线向量的关系求解即可. 【详解】①若，向量平行，模与向量的方向不一定相同，从而 ①错误. ②若，模相等，方向不一定相同或相反，从而②, ③错误. ④若，则，向量相等满足方向相同，模相等，从而④正确. 故选：A. 8．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，所以， 是直角三角形． 故选：B. 9．向量，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示结合已知条件即可求解. 【详解】因为向量且， 所以，解得． 故选：C. 10．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 11．已知向量与不共线，则，的关系是（    ） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据向量的共线原理计算并判断关系即可. 【详解】因为向量与不共线，且，， 设，即， ，，不共线， 无解，，不共线. 故选：C. 12．若不共线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理的定义即可求解. 【详解】因为不共线， 所以由，可得. 对于A、C、D，会导致共线，故错误. 故选：B. 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将等式两边分别平方，结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，则， 所以， 化简得，解得（舍）或， 故选：. 14．已知向量，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， ， 又，所以. 故选：C 15．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16． ． 【答案】 【分析】根据向量运算的加法法则即可求解. 【详解】. 故答案为： 17．已知的三个顶点，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等即可求解. 【详解】平行四边形ABCD， 设则 故答案为： 18．在边长为2的正三角形中， 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 19．已知向量，满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量内积的运算律及夹角公式计算即可. 【详解】，， ，， ， 故答案为：. 20．已知单位向量与的夹角为，那么 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积求模长即可. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 所以. 故答案为：. 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算律即可得解； （2）根据向量内积的定义与运算律即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 ； （2），，所以， 故 . 22．已知向量，，，，且，求 (1)的值； (2)与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量内积的运算法则，结合模长的平方与已知条件即可得解； （2）因为与的内积为0，即可求得夹角. 【详解】（1）由两边平方得：， 又已知，， 代入可得， . （2）， 与的夹角为. 23．已知点、，向量，． (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出的坐标，进而由求出，再由向量夹角的坐标表示求出向量的夹角即可； （2）先求出向量与的坐标，再由向量平行的坐标运算求出k的值即可. 【详解】（1）由已知可得， 则， 所以； （2）因为，， 向量与平行，故， 解得. 24．在中， 角的对边分别为且. (1)求的值； (2)若 ，求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解. （2）根据向量内积的定义可得的值，再由余弦定理可得的值，联立即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 化简， ， ， ，因为， 可得. （2）因为，即， 所以， 又因为，所以①， 因为， 由余弦定理， 得②， 由①②联立可解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$