第四章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 上册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面向量的基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的平行与垂直、平面向量的内积等常见考点。 第四章 平面向量 目录 考点一 平面向量的基本概念 1 考点二 平行向量（共线向量） 2 考点三 平面向量的加法 3 考点四 平面向量的减法 4 考点五 平面向量的数乘 5 考点六 平面向量共线定理证明平行问题 6 考点七 已知向量共线求参数 7 考点八 平面向量线性运算的坐标表示 8 考点九 平面向量平行的坐标表示 9 考点十 平面向量垂直的坐标表示 9 考点十一 平面向量的内积 10 考点一 平面向量的基本概念 1．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确； 向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确. 故选：D. 2．下列物理量中是向量的为（   ）． A．温度 B．速度 C．质量 D．面积 【答案】B 【分析】根据向量的定义即可得解. 【详解】向量的既有大小又有方向的量. 温度，只有大小，没有方向，故错误； 速度，有大小，有方向，故正确； 质量，只有大小，没有方向，故错误； 面积，只有大小，没有方向，故错误； 故选：. 考点二 平行向量（共线向量） 3．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据单位向量的概念，向量模的定义，以及向量共线的性质，即可求解. 【详解】①错误：单位向量模长均为 1，但方向可不同，而相等向量需方向相同且模长相等，故两个单位向量不一定是相等向量， ②正确：零向量与任一向量共线， ③错误：若为零向量，与可以是任意不共线的向量，此时且，但与不一定共线， ④正确：平行向量只要求方向相同或相反，与模长无关，因此模长可以不同， 故正确的说法为②④. 故选：B. 4．有下列说法： ①若，则一定不与共线； ②若，则； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有 ．（填序号） 【答案】② 【分析】根据平行向量，相等向量的概念进行分析即可. 【详解】对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等， 方向相同或相反，所以与有共线的可能，故①不正确， 对于②，，则，且与方向相同， ，则，且与方向相同， 所以与方向相同且模相等，故，故②正确， 对于③，共线向量可以是在一条直线上的向量， 也可能是所在直线互相平行的向量，故③不正确. 故答案为：②. 考点三 平面向量的加法 5．等于（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：D 6．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是边CD上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算即可得解. 【详解】由三角形法则可知，， ∵M是边CD上的中点，∴， 所以， 故选：. 考点四 平面向量的减法 7．化简： . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则与减法法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 8．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A， ，错误， 选项B，，错误， 选项C，，错误， 选项D，，正确. 故选：D. 考点五 平面向量的数乘 9．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】原式． 故选：D． 10．化简下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用向量的线性运算性质化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 . 考点六 平面向量共线定理证明平行问题 11．判断下列向量是否共线． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)与共线 (2)与共线 (3)与不共线 【分析】根据平面向量共线定理求解判断即可. 【详解】（1）因为， 则，所以与共线． （2）因为， 则，所以与共线． （3）设， 则，所以． 因为与是两个不共线向量， 所以这样的不存在， 因此与不共线． 12．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性关系判断三点共线即可； 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以，共线，且有公共点， 所以三点共线． 故选：C 考点七 已知向量共线求参数 13．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线定理列式求解即可； 【详解】因为向量与共线， 所以存在，使得， 可化为, 即，解得． 故答案为： 14．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量共线定理证明，共线即可； （2）由题意可知，存在实数，使，从而可得的方程组，求解即可. 【详解】（1）因为． 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为与共线． 所以存在实数，使，则， 由于与不共线，只能有 所以． 考点八 平面向量线性运算的坐标表示 15．已知平面向量，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为平面向量， 所以. 故选：D. 16．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，， 则. 故选：C. 考点九 平面向量平行的坐标表示 17．已知向量，若与共线，则实数 . 【答案】/ 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】向量共线，所以，解得. 故答案为：. 18．已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算法则求出，代入平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 故答案为：. 考点十 平面向量垂直的坐标表示 19．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据向量垂直求出参数，然后根据充分条件、必要条件的概念可知. 【详解】由题可知：若，则或. 所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 20．已知向量 ，且，则实数m的值为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题可知：，又， 所以，则. 故选：C 考点十一 平面向量的内积 21．已知，，，则 【答案】3 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式，即可得解. 【详解】因为，，， 则， 故答案为：. 22．已知，，求，，，. 【答案】5，，， 【分析】根据平面向量的内积公式，模长公式及夹角公式，即可得解. 【详解】因为，， ， ，， 即， 又，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面向量的基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的平行与垂直、平面向量的内积等常见考点。 第四章 平面向量 目录 考点一 平面向量的基本概念 1 考点二 平行向量（共线向量） 2 考点三 平面向量的加法 2 考点四 平面向量的减法 3 考点五 平面向量的数乘 3 考点六 平面向量共线定理证明平行问题 3 考点七 已知向量共线求参数 4 考点八 平面向量线性运算的坐标表示 4 考点九 平面向量平行的坐标表示 4 考点十 平面向量垂直的坐标表示 4 考点十一 平面向量的内积 5 考点一 平面向量的基本概念 1．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 2．下列物理量中是向量的为（   ）． A．温度 B．速度 C．质量 D．面积 考点二 平行向量（共线向量） 3．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 4．有下列说法： ①若，则一定不与共线； ②若，则； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有 ．（填序号） 考点三 平面向量的加法 5．等于（    ）． A． B． C．0 D． 6．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是边CD上的中点，则（   ） A． B． C． D． 考点四 平面向量的减法 7．化简： . 8．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 考点五 平面向量的数乘 9．等于（   ） A． B． C． D． 10．化简下列各式． (1)； (2)． 考点六 平面向量共线定理证明平行问题 11．判断下列向量是否共线． (1)； (2)； (3)． 12．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 考点七 已知向量共线求参数 13．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 ． 14．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数k的值． 考点八 平面向量线性运算的坐标表示 15．已知平面向量，则（     ） A． B． C． D． 16．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点九 平面向量平行的坐标表示 17．已知向量，若与共线，则实数 . 18．已知向量，，且，则实数 . 考点十 平面向量垂直的坐标表示 19．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 20．已知向量 ，且，则实数m的值为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．-2 考点十一 平面向量的内积 21．已知，，，则 22．已知，，求，，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$