第三章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 上册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章数列的考单元测试卷，主要考查了数列的概念、等差、等比的定义及通项公式、数列前n项和等常见考点。 第三章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若数列的通项公式，则它的第4项是（   ） A．12 B．20 C．21 D．30 2．关于数列，下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．即非等差数列，又非等比数列 3．3与5的等差中项是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 5．等差数列中，，，则为（   ） A．22 B．220 C．110 D．55 6．若，，三个数成等比数列，则的值为（   ） A．4 B． C．16 D． 7．数列的前项和，则的值是（    ） A．78 B．58 C．50 D．28 8．等差数列中， 则 （    ） A．16 B．18 C．20 D．28 9．已知是等比数列，若，，则（   ） A．12 B．18 C．24 D．48 10．在数列中，，则，（    ） A．8 B．－8 C．16 D．－16 11．等差数列的前n项和为，若，则=（    ） A．30 B．60 C．90 D． 12．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 13．在等差数列中，已知，则（    ） A．9 B．10 C．18 D．30 14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 15．在数列中，且，则（   ） A． B． C． D． 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在数列中，若，，则 . 17．已知等差数列的通项公式为，则公差 . 18．在等比数列中，已知 ，则 ． 19．等差数列中，前7项和，则 ． 20．设是各项为正数的等比数列，且，则 ． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等差数列中，前项和为，且. (1)求通项公式； (2)当为何值时，最小？并求这个最小值. 22．已知数列的前n项和．求： (1)数列的通项公式； (2)的值． 23．等比数列中，已知，求该数列的前10项和． 24．在数列中，，且，求： (1)数列的通项公式． (2)数列的前n项和公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、等差、等比的定义及通项公式、数列前n项和等常见考点。 第三章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若数列的通项公式，则它的第4项是（   ） A．12 B．20 C．21 D．30 【答案】B 【分析】数列通项公式中，令即可得解. 【详解】∵，∴第4项. 故选：B. 2．关于数列，下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．即非等差数列，又非等比数列 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义判断即可. 【详解】数列中， ，即数列为公差为的等差数列； 且，即数列为公比为的等比数列； 故选：C. 3．3与5的等差中项是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用等差中项公式即可得解. 【详解】设3与5的等差中项为， 则，解得，即3与5的等差中项为. 故选：B. 4．已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，， 所以，则. 故选：C. 5．等差数列中，，，则为（   ） A．22 B．220 C．110 D．55 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 故选：C. 6．若，，三个数成等比数列，则的值为（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质，即可求解. 【详解】由题意知，，三个数成等比数列， 所以， 所以. 故选：D. 7．数列的前项和，则的值是（    ） A．78 B．58 C．50 D．28 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式与其前项和的关系求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 8．等差数列中， 则 （    ） A．16 B．18 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】等差数列中，， ，， 由等差数列的前n项公式可得，解得. 故选：C. 9．已知是等比数列，若，，则（   ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式结合题意即可求解. 【详解】由题意得，在等比数列中，设公比为，则， ，两式相除可得， 解得，则. 故选：C. 10．在数列中，，则，（    ） A．8 B．－8 C．16 D．－16 【答案】A 【分析】由得出是等比数列，即可求解. 【详解】因为，，即， 所以数列是首项，公比的等比数列, 所以. 故选：A. 11．等差数列的前n项和为，若，则=（    ） A．30 B．60 C．90 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的片段和性质列式即可得解. 【详解】因为等差数列的前n项和， 所以成等差数列， 又，则成等差数列， 所以，则. 故选：D. 12．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】因为等差数列中，， 因为，所以， 即，所以， 故选：D. 13．在等差数列中，已知，则（    ） A．9 B．10 C．18 D．30 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的性质及求和公式即可得解. 【详解】等差数列中，已知， 则， 故选：. 14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式可求. 【详解】由题可知此符合等比数列，设顶层为， 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则， 一座层塔共挂了盏灯，则，， 则，，则， 则塔的顶层共有灯盏； 故选：B. 15．在数列中，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，可知数列是等比数列，且其首项为1，公比为，利用等比数列的通项公式求得通项． 【详解】数列中，，所以， 又，则数列是首项为1，以为公比的等比数列， 则， 故选：A． 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在数列中，若，，则 . 【答案】31 【分析】根据等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】∵，又， ∴数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 所以. 故答案为：31. 17．已知等差数列的通项公式为，则公差 . 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求基本量即可得解. 【详解】因为等差数列的通项公式为， 所以，，故公差. 故答案为：. 18．在等比数列中，已知 ，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即等比中项的概念即可求解. 【详解】由等比数列的性质知成等比数列， 可得＝， 故答案为：． 19．等差数列中，前7项和，则 ． 【答案】14 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】∵，∴. 故答案为：14. 20．设是各项为正数的等比数列，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为是各项为正数的等比数列，且， 所以， ， 故答案为：1． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等差数列中，前项和为，且. (1)求通项公式； (2)当为何值时，最小？并求这个最小值. 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为. 【分析】（1）根据计算出等差数列的首项和公差，进而求得数列的通项公式； （2）代入首项和公差求出，然后计算最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 又因为， 解得， 所以数列的通项公式为：. （2）因为 ， 所以当时，最小，最小值为. 22．已知数列的前n项和．求： (1)数列的通项公式； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据前项和减前项和得到的通项公式即可. （2）将部分和转换成再代值求解即可. 【详解】（1）易知， 且时，， 满足上式， 则数列的通项公式为. （2） 23．等比数列中，已知，求该数列的前10项和． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和进行计算. 【详解】设等比数列的公比为 ，， 则，解得. 所以． 24．在数列中，，且，求： (1)数列的通项公式． (2)数列的前n项和公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系进行化简，再由等比数列的定义得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （2）将代入等比数列的前n项和公式即可. 【详解】（1）已知数列中，，且， 则， 当时，， 即，整理得， 所以数列为首项，公比的等比数列， 则数列的通项公式为. 即. （2）由（1）可知， 数列为首项，公比的等比数列， 所以数列的前n项和为. 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$