第六章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一 上册》北师大版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面的概念、直线与平面、平面与平面的位置关系等常见考点。 第六章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．空间中，可以确定一个平面的条件是（   ） A．三个点 B．四个点 C．三角形 D．都不对 2．若直线上有两个点都在平面内，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．无法确定 3．已知空间中两个角，且的两边对应平行，且，则（   ） A． B． C． D．或 4．垂直于同一条直线的两条直线一定（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 5．在正方体中，与棱异面的棱共有（    ） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 6．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 7．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知直线平面，平面，，则直线a，b的位置关系为（　　） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 10．下列命题不正确的是（    ） A．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 D．若两个平面平行，则在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 11．已知二面角的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 12．在正方体中，对角线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 13．直线平面平面，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 14．平面平面，，，则（   ） A． B． C． D．与相交但不一定垂直 15．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为    17．三条互相平行的直线最多可确定 个平面． 18．若，，则m，n的位置关系是 ． 19．如图，在空间四边形中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则 ．    20．如图，在长方体中，，，，若二面角的平面角大小是，则 ．    3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 22．如图，正四棱锥的高和底面边长都是8．    (1)求的表面积； (2)求的体积． 23．如图，在三棱锥中，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 24．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（北师大版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面的概念、直线与平面、平面与平面的位置关系等常见考点。 第六章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．空间中，可以确定一个平面的条件是（   ） A．三个点 B．四个点 C．三角形 D．都不对 【答案】C 【分析】根平面的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误； 选项，共线的四个点不能确定一个平面，故B错误； 选项，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确，D错误， 故选：. 2．若直线上有两个点都在平面内，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平面性质的公理1可判断结果. 【详解】若直线上有两个点都在平面内，则直线在平面内，即. 故选：C 3．已知空间中两个角，且的两边对应平行，且，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据等角定理，结合题意，即可求解. 【详解】    因为空间中两个角的两边对应平行（如图所示），且， 根据等角定理，可得或. 故选：D. 4．垂直于同一条直线的两条直线一定（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据直线的垂直、平行、异面关系判定. 【详解】两条直线都垂直于同一条直线，若它们在同一平面，则平行. 若它们不在同一个平面上，可能是异面，也可能相交（例如正方体的角）.    综上，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面. 故选：D. 5．在正方体中，与棱异面的棱共有（    ） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 【答案】A 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】 如图所示,在正方体中与棱异面的棱有共4条. 故选：A. 6．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建等边三角形，由线线平行得到异面直线所成角. 【详解】如图所示，连接，． ∵为等边三角形，∴， 又∵，所以异面直线与所成角为. ∴异面直线与所成角的大小为. 故选：B. 7．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 8．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质即可解得 【详解】选项A：过平面外一点，有无数条直线与已知平面平行，错误 选项B：由线面垂直的性质得过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直，正确 选项C：根据平面平行的性质得平行于同一个平面的两个平面平行，正确 选项D：垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能垂直还可能相交，错误 故选：B 9．已知直线平面，平面，，则直线a，b的位置关系为（　　） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】根据线面平行性质定理即可解得. 【详解】由于直线平面，平面，， 则由线面平行的性质可知， 故选：B 10．下列命题不正确的是（    ） A．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 D．若两个平面平行，则在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 【答案】B 【分析】根据平面平行的性质定理即可求解. 【详解】解：对A：根据平面平行的性质定理可知：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，故A正确； 对B：如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行或相交，故B项错误； 对C：由平行的判定定理可知：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行，故C项正确； 对D：由平面平行的判定定理可知：若两个平面平行，则在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，故D项正确. 故选：B. 11．已知二面角的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作面的垂线于垂足O，连接C、D、O构成了，所以是二面角的平面角，从而得解. 【详解】如图所示，，垂足为O，，垂足为D， 且，，连接DO， 因为，所以， 在中，； 又因为，， 所以，又，； 所以，，所以； 所以是二面角的平面角， 所以； 所以. 故选：D. 12．在正方体中，对角线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明对角线与底面所成的角为，再令正方体棱长为，在中求解的正切值即可. 【详解】为正方体，所以平面, 所以，所以对角线与底面所成的角为， 令正方体棱长为， 则，， 所以. 所以对角线与底面所成角的正切值为. 故选：B. 13．直线平面平面，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】直线平面平面，由面面垂直的判定定理，得与垂直. 故选：C. 14．平面平面，，，则（   ） A． B． C． D．与相交但不一定垂直 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理即可求. 【详解】因为平面平面，，，， 由面面垂直的性质定理知，. 故选：C. 15．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】ABD均可举出反例， 由线面垂直的性质可得得到C正确. 【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误； 对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2， 满足，，但相交，B错误； 对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确； 对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面， 如图3，满足，，但相交，故D错误. 故选：C. 2、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为    【答案】 【分析】先找到直线与平面所成的角，然后根据三角函数知识计算. 【详解】由题可知：直线与平面所成的角为， 又， 所以， 又，所以. 故答案为： 17．三条互相平行的直线最多可确定 个平面． 【答案】3 【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案. 【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3. 18．若，，则m，n的位置关系是 ． 【答案】平行或异面 【分析】通过直观想象进行判断即可. 【详解】因为，，， 所以m，n无公共点，如图，m，n有可能平行或异面. 故答案为：平行或异面.    19．如图，在空间四边形中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则 ．    【答案】5 【分析】根据异面直线垂直，找到异面直线所成的角，再根据勾股定理求边长. 【详解】取的中点，连接、， 如图所示．则，，且， ∴即为异面直线与所成的角或其补角，． 在中，，， ∴．      故答案为：5. 20．如图，在长方体中，，，，若二面角的平面角大小是，则 ．    【答案】/ 【分析】由线面垂直判定及二面角的平面角的定义即可得解. 【详解】由长方体的性质可知. ，，，平面，平面. ∴平面． ∵平面. ∴. ∴为二面角的平面角． 在中，，即． 故答案为：. 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 22．如图，正四棱锥的高和底面边长都是8．    (1)求的表面积； (2)求的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何体表面积的计算方法求得正确答案. （2）根据几何体体积的计算方法求得正确答案. 【详解】（1）正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为： . （2）所以正四棱锥的体积为： . 23．如图，在三棱锥中，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理即可得证； （2）利用线面角的定义，结合线面垂直的性质与勾股定理即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2）由（1）知平面， 则在平面内的射影为， 则与平面所成角为， 因为平面，平面，平面，平面， 所以， 在中，， 在中，， 在中，. 所以与平面所成角的正弦值为. 24．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1)60°. (2) 【分析】（1）根据两个等腰三角形共公共边，利用垂面法即可作出二面角的一个平面角并利用解三角形求解； （2）分解为两个全等的三棱锥即可求解. 【详解】（1）如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD．    ∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. 又∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. ∴是二面角的一个平面角. 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 所以二面角的大小为. （2）由（1）知， 且面， ∴平面，即有： . 所以三棱锥的体积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$