3.4 函数的应用（一）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用(一) 同步练习 考点一　一次函数、二次函数模型的应用 1.薯条作为一种油炸食品,风味是决定其接受程度的基础.在特定条件下,薯条品质得分p与煎炸时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),右图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳煎炸时间为(　　) A.2.25 min　　B.2.75 min　　C.3.25 min　　D.3.75 min 2.某批发市场一服装店试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)近似满足一次函数y=kx+b,且x=80时,y=40,x=70时,y=50,则这个一次函数的解析式为　　　　,x的取值范围是　　　　.  3.假设在一般情况下,某大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明,当x∈[20,200]时,车流速度v是车流密度x的一次函数.则当车流密度为　　　　辆/千米时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)可以达到最大.  4.边际函数是经济学中的一个基本概念,在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,定义函数f(x)的边际函数为Mf(x),且Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则以下说法正确的有　　　　(填序号).  ①当P(x)取得最大值时,每月的产量为63台; ②边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x(x∈N*); ③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值; ④边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,每台的利润与前一台利润的差额在减少. 5.为了改善学校办公环境,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元. (1)求出y关于x的函数解析式; (2)因为经费有限,学校的预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,则学校共有几种购买方案?哪种方案费用最少?求出费用最少的方案所需的费用. 6.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为80元,出厂单价为120元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元.根据市场调查,销售商一次订购不会超过600件.设一次订购x件服装的实际出厂单价为P元. (1)写出P关于x的函数表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该服装厂获得的利润最大? 考点二　其他函数模型的应用 7.生物学家认为,睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位:心跳次数·min-1)与体重W(单位:kg)的次方成反比.若A、B为两个睡眠中的恒温动物,A的体重为2 kg,脉搏率为210次·min-1,B的脉搏率是70次·min-1,则B的体重为(　　) A.6 kg　　B.8 kg　　C.18 kg　　D.54 kg 8．（多选题）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 9．（多选题）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 10．（多选题）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 11.某中学在校园内开设了“希望之星小市场”,将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知,某商品的进价为每件20元,设每件的售价为x(20<x≤40)元,则每天的销售件数P=,要想日利润最大,售价应定为每件　　　　元.(利润=售价-进价)  12.某保健厂研制了一种足疗盆:在足疗盆右侧离中心x(0<x<18)厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用,已知臭氧发生孔工作时对左脚的干扰度与x2成反比,比例系数为2;对右脚的干扰度与1 350-x2成反比,比例系数为k.设臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和为y,当x=10时,y=0.06. (1)求y关于x的表达式; (2)求y的最小值,并求此时x的值. 考点三　分段函数模型的应用 13.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AD=9,DB=3,CD=6,矩形的顶点E与A点重合,EF=8,EH=4,将矩形EFGH沿AB平移,当点E与点B重合时,停止平移,设点E平移的距离为x,矩形EFGH与△ABC重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象大致为(　　) 　　　　　　 14.某工厂生产某种零件的固定成本为20 000元,每生产一个零件要增加投入100元,已知总收入Q(单位:元)与产量x(单位:个)满足Q=当x=　　　　时,零件的单位利润最大,最大为　　　　元.(单位利润=利润÷产量)  15.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价大约为21元/千克,且销售畅通供不应求,记单株水果树的利润为f(x)元. (1)写出f(x)关于x的关系式; (2)当施用肥料为多少千克时,单株水果树的利润最大?最大利润是多少? 16.某机械厂生产一批零件,受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,其次品率p与日产量x(单位:万件)之间满足关系:p=(其中m为小于12的正整数).已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元,但每生产1万件次品将亏损10万元,故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大(注:次品率=次品数/生产量),设这批零件每天的盈利额为y万元. (1)将y表示为日产量x的函数; (2)当日产量为多少时,该厂可获得最大利润? 考点四　函数模型的选择与建立 17.长江流域水库群的修建和联合调度极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾作用.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数蓄满指数=×100来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下: (i)调度后每座水库的蓄满指数仍在区间[0,100]内; (ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (iii)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变. 记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式: ①y=-x2+6x;②y=x+50;③y=|x-1|;④y=10. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是(　　) A.②④　　B.①④　　C.②③　　D.③④ 18.迷你KTV是一类新型的娱乐设施,外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间,近几年投放在各大城市商场中,受到年轻人的欢迎.如图,某间迷你KTV的横截面为轴对称图形,其中AB=AE=,∠A=∠B=∠E=90°,曲线段CD是圆心角为90°的圆弧,设该迷你KTV横截面的面积为S,周长为L,则的最大值为　　　　.(取π=3进行计算)  19.某公司为了提高生产效率,决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后,第一年维修、保养费用为12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该设备每年的总收入为50万元,设使用x(x∈N*)年后该设备的盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式,并求出从第几年开始,该设备开始盈利(盈利额为正值); (2)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种: ①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元的价格处理该设备; ②当盈利额达到最大值时,以12万元的价格处理该设备. 请判断用哪种方案处理较为合理,并说明理由.注:1+2+…+(n-1)+n=,n∈N* 答案 1.C　将(2,50),(3,80),(4,70)分别代入p=at2+bt+c可得解得 所以p=-20t2+130t-130, 所以当t=-=3.25时,p取得最大值. 2.答案　y=-x+120;[60,84] 解析　根据题意,得解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+120. 由题意可得60≤x≤60×(1+40%),∴60≤x≤84,即x的取值范围为[60,84]. 3.答案　100 解析　当20≤x≤200时,设v=kx+b(k≠0),则解得k=-,b=. 于是v= 设车流量为q辆/时, 则q=v·x= 当0≤x<20时,q=60x,此时函数在区间[0,20)上单调递增,恒有q<1 200; 当20≤x≤200时,q=-x2+x=-(x-100)2+,此时函数在区间[20,100]上单调递增,在区间[100,200]上单调递减, 因此当x=100时,q取得最大值,为. 综上所述,当x=100时,q取得最大值,即车流量最大,约为3 333辆/时. 4.答案　②③④ 解析　对于①,P(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000, 二次函数P(x)的图象开口向下,对称轴为直线x==62.5, 因为x∈N*,所以P(x)取得最大值时每月的产量为63台或62台,①错误; 对于②,MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈N*),②正确; 对于③,P(x)max=P(62)=P(63)=74 120, 因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,所以MP(x)max=MP(1)=2 440,74 120≠2 440,③正确; 对于④,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数, 所以随着产量的增加,每台的利润与前一台利润的差额在减少,④正确. 5.解析　(1)因为购买A型笔记本电脑x台,所以购买B型笔记本电脑(15-x)台, 所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000, 所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+96 000(0≤x≤15,x∈N). (2)因为学校的预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多, 所以解得5≤x≤10, 又x∈N(易错点),故x可取5,6,7,8,9,10,学校共有6种购买方案. 易知y=-1 200x+96 000单调递减, 又5≤x≤10且x∈N,所以当x=10时,y有最小值,且ymin=-1 200×10+96 000=84 000,此时15-x=5. 故学校共有6种购买方案,购买A型笔记本电脑10台、B型笔记本电脑5台的方案所需费用最少,该方案所需费用为84 000元. 6.解析　(1)P= 即P=(x∈N). (2)设该厂获得的利润为g(x)元,则g(x)=(P-80)·x=(x∈N). ①当0≤x≤100时,g(x)≤4 000; ②当100<x≤600时,g(x)=-0.04(x-550)2+12 100≤12 100. 综合①②,可知当x=550时,g(x)有最大值12 100. 所以当销售商一次订购550件服装时,该服装厂获得的利润最大. 7.D　根据题意设f=(k≠0),当W=2, f=210时,k=210×,当f=70时,==3×,所以W=(3×)3=27×2=54. 8．BC 由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当40≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故当时， y与x的关系式为，故D错误． 故选：BC 9．AD 设此种商品的月销售额为， 由题意知，单价为，销售量为， 所以销售额：， 所以， , , . 故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13. 故选：AD 10．BCD 观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 11.答案　30 解析　设日利润为y元,则y=(x-20)P=(x-20)·=105,令t=,由x∈(20,40],得t∈,设f(t)=t-10t2, 易知二次函数f(t)的图象的对称轴方程为t=∈,故当t=时,f(t)取得最大值,此时日利润最大,故当=,即x=30时,日利润最大. 12.解析　(1)由题意得y=+,0<x<18, 因为当x=10时,y=0.06,所以+=0.06⇒k=50,所以y=+,0<x<18. (2)因为0<x<18,所以1 350-x2>0, 所以y=+=[x2+(1 350-x2)]·=≥=×(52+20)=, 当且仅当=,即x=15时取“=”, 所以当x=15时,臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小,为. 13.C　由已知得tan∠CAD==,tan∠CBD==2. 当0<x≤4时,重合部分为三角形,且三角形的边AE上的高h=xtan∠CAD=x, ∴y=xh=x2,函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故排除A; 当4<x≤9时,重合部分为直角梯形, 上底长为(x-4)tan∠CAD=(x-4), 下底长为xtan∠CAD=x,高为4, 故y=××4=x-, 函数图象为一条直线的一段,故排除D; 当9<x≤12时,重合部分可以看作两个直角梯形(当x=12时,右边为三角形), 左边直角梯形的上底长为(x-4)tan∠CAD=(x-4), 高为4-(x-9)=13-x, 右边直角梯形的上底长为(12-x)tan∠CBD=2(12-x), 高为x-9, 两个梯形的下底长均为CD=6, 故y=××(13-x)+×[2(12-x)+6]×(x-9)=-x2+x-, 图象为开口向下的抛物线的一部分,且抛物线的对称轴方程为x=10,故排除B. 14.答案　200;100 解析　设利润为P(x)元,当0≤x<400时,P(x)=400x-x2-20 000-100x=-x2+300x-20 000, 当x≥400时,P(x)=80 000-100x-20 000=60 000-100x, 故P(x)= 设零件的单位利润为g(x)元, 则g(x)= 当0≤x<400时,g(x)=300-≤300-2=100, 当且仅当=,即x=200时,等号成立, 当x≥400时,g(x)=-100≤50, 故当x=200时,零件的单位利润最大,最大单位利润是100元. 15.解析　(1)由题意可知, f(x)=21W(x)-30x= (2)当0≤x≤2时, f(x)=84(x2+3)-30x=+, 则f(x)在上单调递减,在上单调递增, 又f(0)=252, f(2)=528,所以f(x)的最大值为528; 当2<x≤5时, f(x)=-30x=750-≤750-2=540, 当且仅当=15(2x+1),即x=3时取等号,故f(x)的最大值为540. 因为528<540,所以当施用肥料为3千克时,单株水果树的利润最大,最大利润是540元. 16.解析　(1)由题意知y=30(1-p)x-10px=(30-40p)x, 当0<x≤m时,p=,故y=x=; 当x>m时,p=,故y=x=0. 综上,y=m<12,m∈N*. (2)当x>m时,每天的盈利额为0,故只需求0<x≤m时y的最大值, 设u=12-x,0<x≤m,则x=12-u,且u∈[12-m,12), 则y===-30+400. ①当0<12-m≤4,即8≤m<12,m∈N*时,y=-30u++400≤-30×2+400=160, 当且仅当u=,即u=4时,y取得最大值160,此时x=8. ②当12>12-m>4,即0<m<8,m∈N*时,易知y=-30u++400在[12-m,12)上单调递减, 所以当u=12-m,即x=m时,y取得最大值. 综上所述,若0<m<8,m∈N*,则当日产量为m万件时,可获得最大利润; 若8≤m<12,m∈N*,则当日产量为8万件时,可获得最大利润. 17.A　 信息提取　符合要求需满足四个条件:(1)自变量的取值范围是[0,100];(2)函数的值域为[0,100]的子集;(3)函数在[0,100]上恒有y≥x;(4)函数在[0,100]上单调递增.逐一对照分析即可求解. 解析　函数y=-x2+6x的图象的对称轴方程为x=-=60, 所以ymax=-×602+6×60=180>100,不符合题意; 对于y=x+50,当x∈[0,100]时,y∈[50,100], 且y=x+50在[0,100]上单调递增, y-x=-x+50∈[0,50],即y≥x,符合题意; 函数y=|x-1|在[0,1]上单调递减,在[1,100]上单调递增,故不符合题意; 函数y=10在[0,100]上单调递增,且当x∈[0,100]时,y∈[0,100], 由0≤≤10,得x≤10,即y≥x,符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 18.答案　12-3 解析　设圆弧的半径为x, 根据题意可得BC=DE=AB-x=-x, S=AE·DE+(AB-DE)·BC+π·x2=×+x+=-x2+, L=2AB+BC+DE+=6-2x+, ∵π=3,∴S=,L=6-x,∴=,0<x≤, 令t=24-2x(21≤t<24),则x=,∴==-+12, 由基本不等式可得+≥2=3,当且仅当=,即t=6时取“=”. ∵6∈[21,24),∴当t=6时,=12-3. 19.解析　(1)由题意可得,y=50x--98=-2x2+40x-98,x∈N*. 令-2x2+40x-98>0,解得10-<x<10+, 因为x∈N*,所以3≤x≤17,故从第3年开始盈利. (2)方案①:=-2x+40-=40-≤40-2=12,当且仅当2x=,即x=7时等号成立, 故第7年的年平均盈利额达到最大值,该设备共盈利12×7+30=114万元; 方案②:由y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,可知当x=10时,ymax=102, 故第10年的盈利额达到最大值,该设备共盈利102+12=114万元. 两种方案的盈利额相同,而方案①所用的时间较短,故方案①比较合理. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$