第5章 2 排列（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦排列与排列数核心知识点，从“选2人参加上下午活动”的问题情境切入，梳理排列的有序性特征及排列数定义，推导阶乘与排列数公式，进而通过无限制排列、排队（捆绑/插空）、数字排列等问题构建完整学习支架。 资料以问题驱动概念建构，通过自主检验题巩固理解，例题分类详解排列数计算、排队及数字排列问题。运用捆绑法解决相邻问题等策略，培养逻辑推理与数学运算素养，课中助力教师系统授课，课后学生可依此回顾方法查漏补缺。

§2　排　列 学习目标 素养要求 1.理解排列、排列数概念，会用树形解决简单的排列问题． 2.理解排列数公式的推导过程，并能简单应用． 1.通过学习排列、排列数公式，培养数学抽象的核心素养． 2.通过排列知识的实际应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　排列与排列数 [问题]　从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动． (1)让你安排这项活动需要分几步？ 答：分上午和下午两步． (2)甲丙和丙甲是相同的排法吗？ 答：不同． ►知识填空 1．排列 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A． 我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题． “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m，n都是正整数，m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如从a，b，c中任取两个元素的排列有以下6种形式：ab，ac，ba，bc，ca，cb，这里每一种形式都是一个排列，而排列数则是6.　　 知识点二　排列数公式 ►知识填空 形成阶乘、排列数公式 阶乘 定义 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘 特殊 情况 A＝1，0！＝1 排列数 公式 定义 A＝n(n－1)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝(n，m∈N＋，m≤n) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　) (2)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　) (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数运算，按照计算结果，可以看作排列问题的运算为(　　) A．加法　　　　　　　　B．减法 C．乘法 D．除法 解析：选 BD　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 3．89×90×91×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：选C　A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89. 4．从5名同学中选出正、副组长各1名，有________种不同的选法(用数字作答). 解析：从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为A＝5×4＝20. 答案：20 题型一　排列数的计算和证明 [例 1]　(1)n∈N＋，则(20－n)(21－n)…(100－n)＝(　　) A．A　　　　　　　B．A C．A D．A (2)计算：＝(　　) A．12　　　　　　　　　B．24 C．30 D．36 (3)求证：A＝A·A. 解：(1)选C　原式＝(100－n)(99－n)…(21－n)(20－n)＝(100－n)(99－n)…(21－n)[(100－n)－81＋1]＝A. (2)选D　因为A＝＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36. (3)证明：∵A·A＝(n－m)！＝n！＝A，∴等式成立． 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时应注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．　　 解方程：3A＝2A＋6A. 解：根据原方程n(n∈N＋)应满足 得n≥3. 由排列数公式得3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)，整理得n(3n2－17n＋10)＝0. 解得n＝5或n＝(舍)或n＝0(舍)， 所以n＝5. 题型二　无限制条件的排列问题 [例 2]　(1)6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 (2)一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少个车站？ 解：(1)选C　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720. (2)由题意可得A－A＝58，即(n＋2)·(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14. 所以原有车站14个，现有车站16个． 解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序． (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件． (3)运用排列数公式求解．　　 　(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法． (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343种不同的送法． 题型三　排队问题 [例 3]　已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 解：(1)(捆绑法)：将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法． (2)法一(间接法)：7人任意排列，有A种排法．甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3 600种排法． 法二(插空法)：将其余5人排列，有A种排法.5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3 600种排法． (3)(捆绑法)：将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法． (4)(插空法)：将其余4人排好，有A种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法． (1)元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看作一个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆绑元素的内部排列． (2)元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中． (3)对于定序问题，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.　　 　分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6人排成一排，甲、乙不相邻． (4)A，B，C，D，E五个人排成一排，A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻). 解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720. (2)甲不能排首尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480(种)排法． (3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法． (4)首先五个人排成一排，共有A种排法，A，B两人的全排列有A种排法，C，D两人的全排列有A种排法，又A在B的左边且C在D的右边，故满足条件的排法共＝30(种). 题型四　数字排列问题 [例 4]　用0，1，2，3，4，5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？ (4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？ 解：(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数有4种选法． 由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法． 故所求三位数共有5×6×6＝180(个). (3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个). (4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个).因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个). (5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个). 排数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．　　 　用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数有多少个？ 解：若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A种排法； 若个位数不是0, 先从2，4，6，8中取一个放在个位，在其余8个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法， 所以满足条件的三位偶数的个数共有A＋256＝328. [课堂小结] 1．判断一个问题是否是排列的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．即在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题． 2．求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$