第5章 1 基本计数原理（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦计数原理核心知识点，通过“问题情境—抽象原理—应用拓展”的脉络，以班级选代表等实例为支架，系统梳理分类加法计数原理（加法原理）和分步乘法计数原理（乘法原理），并通过自主检验、题型分层（基础应用到综合拓展）帮助学生构建知识体系。 资料以数学抽象和数学建模为核心素养导向，通过“问题链”引导学生从具体实例中抽象原理，设计涂色问题、组数问题等情境培养推理能力与模型意识。课中助力教师引导学生自主探究，课后通过例题解析与分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

　计数原理 §1　基本计数原理 学习目标 素养要求 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理． 2.理解并掌握两个计数原理，并会利用计数原理解决一些简单的问题． 1.通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过对两个计数原理应用的探究，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　分类加法计数原理 [问题]　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果按照性别来分类，选1名同学任数学课代表的方案可分几类？ 答：可分两类，即选男同学、选女同学． (2)这几类方案中各有几种方法？ 答：第1类方案(选男同学)有22种方法，第2类方案(选女同学)有18种方法． (3)选1名同学任数学课代表一共有多少种不同的方法？ 答：共有22＋18＝40种方法． ►知识填空 分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理) 分类加法计数原理的最重要特点是各类中的每种方法都可以单独完成这件事；正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏．　　 知识点二　分步乘法计数原理 [问题]　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名男同学和1名女同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果每次选1名同学任数学课代表，那么选2名同学任数学课代表需要分几步完成？ 答：分两步完成，第1步选男同学任数学课代表，第2步选女同学任数学课代表． (2)完成每一步各有几种方法？ 答：第1步选男同学任数学课代表有22种方法，第2步选女同学任数学课代表的18种方法． (3)选1名男同学和1名女同学任数学课代表一共有多少种方法？ 答：共有22×18＝396种方法． ►知识填空 分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法．(也称乘法原理) 当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同的方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成，这件事情才算完成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法种数为 (　　) A．11　　　　　　　　B．28 C．16 384 D．2 401 答案：B 3．一学习小组有4名男生，3名女生，任选1名学生当数学课代表，共有______种不同选法；若选男女生各1名当组长，共有______种不同选法． 答案：7　12 4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 解析：由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法． 答案：48 题型一　分类加法计数原理的应用 [例 1]　某校高三共有三个班，各班人数如下表． 数学　选择性必修第一册(BS) 第五章　计数原理 男生数 女生数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法． (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法． 利用分类加法计数原理计数时 的解题流程 　　 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 解析：法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 答案：36 题型二　分步乘法计数原理的应用 [例 2]　(1)已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为________． (2)定义集合A与B之间的运算A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中元素个数为________． 解析：(1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3个量a，b，r确定，确定a，b，r分别有3种，4种，2种选法． 由分步乘法计数原理，表示不同圆的个数为3×4×2＝24. (2)确定有序数对(x，y)需要两个步骤，第一步，确定x的值，有3种不同的方法；第二步，确定y的值，有4种不同的方法．所以集合A*B中元素个数为3×4＝12. 答案：(1)24　(2)12 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 　　 从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位偶数． 解：(1)三位数有三个数位： 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数． (2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2，4中选1个数字，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数． 题型三　两个计数原理的综合应用 [例 3]　(1) 如右图，用五种不同的颜色分别给“金”“榜”“题”“名”四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　) A．280　　　　　　　　　B．180 C．96 D．60 (2)有一项活动，需在3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． ①若只需一人参加，有多少种不同选法？ ②若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ ③若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ 解析：(1)选B　按区域分四步：第一步“金”区域有5种颜色可选；第二步“榜”区域有4种颜色可选；第三步“题”区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域“金”中已有过的颜色，故“名”区域也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180种涂法． (2)①有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法。由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16种选法． ②分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法． ③可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名教师再选一名女学生，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39种选法． 利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．　　 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种． (2)三位数的首位不能为0，但可以重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [课堂小结] 1．使用两个原理解题的本质 ―→―→ ―→―→ 2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$