第2章 3.2 抛物线的简单几何性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 素养要求 1.掌握抛物线的几何性质． 2.能运用抛物线的性质解决有关问题． 3.掌握抛物线焦点弦问题的求解方法． 1.通过抛物线几何性质的探究，培养直观想象的核心素养． 2.借助抛物线几何性质的应用及焦点弦问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　抛物线的简单几何性质 [问题1]　观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图象，分析其几何图形存在哪些区别？ 答：抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线、一个顶点、一个焦点，没有中心． [问题2]　根据抛物线方程y2＝2px(p＞0)，如何确定横坐标x的范围？ 答：由抛物线y2＝2px(p＞0)有所以x≥0.所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． ►知识填空 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 续表 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称 轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 原点 离心 率 e＝1 [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (4)抛物线焦点到准线的距离等于p.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　　) A．－2　　　　　　　　　　B．0 C．－2或0 D．－2或2 解析：选B　由y2＝4x知B(1，0)为焦点，所以准线为x＝－1，由抛物线定义知xA＋＝1，得xA＝0. 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝16x D．y2＝－16x 解析：选AB　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，p＝4，可得抛物线方程． 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 答案：2 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 [例 1]　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F. 因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故 解得 所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 法二：如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2.所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程.　　 若抛物线y2＝mx(m＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 解：由x2＋y2－4x－5＝0，得(x－2)2＋y2＝9， 所以圆心为(2，0)，半径为3. y2＝mx(m＞0)的准线方程为y＝－. 由已知得2＋＝3，解得m＝4. 所以抛物线的准线方程为x＝－1， 标准方程为y2＝4x. 题型二　抛物线几何性质的应用 [例 2]　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解析：因为△OAB的面积为4，所以·||·2|p|＝4，所以p＝±2，所以抛物线方程为y2＝±4x. 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．　　 　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解：由题知，抛物线的焦点F. ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， ∴△ABO为等腰三角形． ∴A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)， ∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点， ∴BF⊥OA，则kBF·kOA＝－1， 即·＝－1. 又∵y＝2px0，∴x0＝p. ∴直线AB的方程为x＝. 题型三　抛物线的焦半径和焦点弦问题 [例 3]　已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程． 解：∵过焦点的弦长|AB|＝p， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵y2＝2px的焦点为F. ∴直线方程为y＝k. 由整理得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)， ∴x1＋x2＝， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p， 又|AB|＝p， ∴＋p＝p，∴k＝±2. ∴所求直线方程为y＝2或 y＝－2. 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解． (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解． (3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2＋p＝2p知，通径是所有弦中最短的弦.　　 1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　) A．10　　　　　　　B．8 C．6 D．4 解析：选B　由抛物线y2＝4x，得p＝2，设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B. 2．(变结论)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解：设AB中点为M(x0，y0)， 由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p， 所以AB的中点M到y轴的距离为p. [课堂小结] 1．抛物线的离心率e＝1.经常会利用此结论将点到点的距离与点到直线的距离互相转化． 2．通径 (1)定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p.故抛物线的通径长为2p. (2)通径是所有焦点弦中最短的弦． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$