第7章 提升课11 与球有关的切、接、截问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

提升课11　与球有关的切、接、截问题 第七章　立体几何与空间向量 内容索引 课时作业　巩固提升 2 角度1　多面体的外接球 [例1]　(1)在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD, △ADB的面积分别为,,,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π A 考点一　空间几何体的外接球 [解析]　在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,将其补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c(a>b>c),由题意得ab=,ac=,bc=, 解得a=,b=,c=1,所以球的直径为=,它的半径为,球的体积为×=π. (2)(2025·天津模拟)已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为(　　) A.16π B.20π C.8π D.5π B [解析]　如图,设正六棱柱下底面的中心为O',其外接球的球心为O,则OO'=1,△ABO'为等边三角形,故AO'=2,OA即为其外接球的半径,所以AO===,所以该正六棱柱的外接球的表面积为4π()2=20π. 方法总结 1.棱柱、棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上;而棱锥的外接球的球心在高线所在直线上. 2.补形法适用的四种常见三棱锥: ①墙角模型——三条棱两两垂直,如图(1); ②鳖臑模型——四个面都是直角三角形,如图(2); ③共直角边模型——两个共直角边的直角三角形组成的三棱锥,如图(3); ④对棱相等模型——三组对棱分别相等,如图(4). 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=;正四面体的外接球的半径R=a(a为该正四面体的棱长). 角度2　旋转体的外接球 [例2]　(1)已知某圆柱的轴截面是正方形,且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上,则该圆柱的体积与球O的体积的比值是(　　) A. B. C. D. D [解析]　设该圆柱的底面圆半径为r,高为h,则h=2r,设球O的半径为R,则由已知条件可得R=r,设圆柱的体积为V1,球的体积V2,由圆柱的体积公式可得V1=πr2·h=2πr3,由球的体积公式可得V2=πR3=πr3,则==. (2)已知圆锥底面半径为3,体积为3π,若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为(　　) A.100π B.40π C. D. A [解析]　设圆锥的高为h,因为圆锥的体积为3π,所以π×32×h=3π,解得h=1, 设圆锥的外接球的半径为R,可得R2=r2+(R-h)2,即R2=32+(R-1)2,解得R=5,所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π. 方法总结 圆柱、圆台的外接球常称为“汉堡型”,球心在上下底面中心的连线上,圆锥的外接球的球心在其高线所在直线上. 跟踪训练 1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(　　) A. B.2 C. D.3 C 解析:由题意作图如图,过球心O作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.   ∵AB=3,AC=4,AB⊥AC,∴BC=5.又AM=BC=,OM=AA1=6, ∴球O的半径R=OA==. 2.(2025·江苏扬州模拟)已知某圆锥底面半径为1,高为2,则该圆锥的外接球表面积为(　　) A.π B.π C.π D.π 解析:根据题意,设圆锥外接球的半径为R,则有R2=1+(2-R)2,解得R=, 则该圆锥的外接球表面积S=4πR2=. C 角度1　多面体的内切球 [例3]　(1)(一题多解)在正三棱锥A-BCD中,侧面与底面所成二面角的正切值为,BC=6,则这个三棱锥的内切球半径为(　　) A.1 B. C.2 D. 思路1:利用分割图形V三棱锥=S表·r,r为内切球半径. 思路2:内切球的大圆与二面角的平面两两相切. A 考点二　空间几何体的内切球 [解析]　法一:取CD的中点M,连接AM,BM,如图①所示,取截面ABM,作AH⊥BM交BM于点H,如图②所示. 易得BM=3,MH=,由AM⊥CD,BM⊥CD,则∠AMB为侧面与底面所成二面角,且∠AMB的正切值为,故AH=3,AM=2,VA-BCD =S△BCD·AH=×9×3=9, S表=S△BCD+3S侧=×62+3×=9+3×6=27,设三棱锥内切球半径为r, VA-BCD=S表·r,故r=1. 法二:研究截面ABM,设内切球球心为O,半径为r,作OE⊥AM交AM于点E,如图③所示,则OH=OE=r,由Rt△AEO∽Rt△AHM,得=,即=,则r=1. (2)(2025·天津模拟)一个体积为4π的球在一个正三棱柱的内部,且球面与该正三棱柱的所有面都相切,则此正三棱柱的体积为(　　) A.18 B.27 C.36 D.54 D [解析]　设球的半径为R,则由球的体积V=πR3=4π,∴R=, ∴正三棱柱的高h=2R=2.设正三棱柱的底面边长为a,∵球的半径等于底面正三角形内切圆半径,∴×a=,∴a=6, ∴底面正三角形的面积S=a2sin=×62×sin=9,∴正三棱柱的体积V=Sh=9×2=54. 方法总结 多面体内切球的球心与半径的确定 1.(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合. (4)体积分割是求内切球半径的通用方法. 2.正四面体的内切球的半径r=a,其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长). 角度2　旋转体的内切球 [例4]　(1)(2025·山东聊城模拟)已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的内切球的体积为(　　) A.32π B.4π C.π D.π C [解析]　依题意可得该圆柱的底面半径为1,高为2,易得该圆柱的内切球的半径为1, 则该圆柱的内切球的体积为π×13=π. (2)如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为(　　)   A.π B.12π C.9π D.12π B [解析]　设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球球心O一定在O1O2中点处, 设球O与母线AB切于点M,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径), ∴△AOO1≌△AOM,∴AM=r1,同理BM=r2, ∴AB=r1+r2,∴O1=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2=12, ∴O1O2=2,∴圆台的内切球半径R=, ∴内切球的表面积4πR2=12π. 方法总结 旋转体与球相切时,主要是作旋转体的轴截面,转换为三角形、正方形与等腰梯形的内切圆问题,且球心到切点的距离相等为半径. 跟踪训练 1.已知圆锥PO的顶点为P,其三条母线PA,PB,PC两两垂直,且母线长为6,则圆锥PO的内切球表面积为(　　) A.12(10-3)π　　　　 B.24(20-7)π C.96(5-2)π D.60(8-3)π C 解析:因为PA,PB,PC两两互相垂直且长度均为6, 所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形, 且边长AB=BC=CA=6, 由正弦定理得底面圆的半径R=·=2, 所以圆锥的高PO==2. 如图,圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r, 轴截面三角形面积为·4·2=(6+6+4)·r,所以内切球的半径r=6-4. 内切球的表面积为4π(6-4)2=4π(120-48)=96(5-2)π. 2.(2025·安徽安庆模拟)已知圆锥PO的轴截面是等边三角形,则其外接球与内切球的表面积之比为(　　) A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.8∶1 A 解析:如图,等边三角形PAB的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径,记内切球和外接球的半径分别为r和R,则=sin=,所以其外接球与内切球的表面积之比为=4∶1. [例5]　(2025·陕西西安模拟)我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则其棱切球的表面积是(　　) A.π B.2π C.8π D.12π B 考点三　棱切球 [解析]　正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线,设棱切球的半径为R,则(2R)2=12+12=2,解得R=(负值已舍去),所以其棱切球的表面积S=4πR2=2π. 正方体的棱切球可以转化为对角面的内切圆;正四面体的棱切球可以转化为棱长为面对角线的正方体的内切球等问题解决. 方法总结 跟踪训练 (2025·江西南昌模拟)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切,则该球的表面积为(　　) A.4π B.2π C. D.π A 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体ABCD,   显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球,故球的半径r=1,则该球的表面积为S=4πr2=4π. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.正方体的外接球与内切球的表面积比值为(　　) A.　　　　　　　　 B.3 C.3 D. C A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设正方体的外接球的半径为R,内切球的半径为r,棱长为1,则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长,即2R=,所以R=,正方体内切球的直径为正方体的棱长,即2r=1,即r=,所以=,所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为==3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为(　　) A.4π B.6π C.8π D.10π 解析:由题意可知该球为圆柱的外接球,所以球心为圆柱的中心,设球半径为r,则r==,故该球的表面积为4πr2=8π. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(2025·浙江杭州期中)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的体积为(　　) A. B.π C. D.π C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为四面体是正四面体,所以正四面体放入正方体中,正四面体的外接球就是正方体的外接球,故正方体的棱长为1,外接球半径为,所以V=πR3=π=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(2025·山东青岛调研)一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形,侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切,若棱柱的体积为48,则球的表面积为(　　) A.16π B.4π C.8π D.32π A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意,设正三棱柱的底面边长为a,则其内切球的半径r=×a=a, 所以正三棱柱的高h=2r=a.棱柱的体积V=a2·h=a2·a==48,得a=4,所以球的表面积S=4πr2=4π·=a2=16π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(2025·广东广州模拟)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切),且圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=4r1=4,则圆台的体积与球的体积之比为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:如图,为该几何体的轴截面,其中圆O是等腰梯 形ABCD的内切圆,设圆O与梯形的腰相切于点E,与 上、下底的分别切于点O1,O2,设球的半径为r,圆台 上下底面的半径为r1=1,r2=4.注意到OD与OA均为角 平分线,因此∠DOA=90°,从而△AO2O∽△OO1D,故r2=r1r2=4.设圆台的体积为V1,球的体积为V2,则====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(多选)(2025·山东东营模拟)正四棱锥P-ABCD的底面积为3,外接球的表面积为8π,则正四棱锥P-ABCD的体积为(　　) A. B. C.2 D. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3,所以底面边长为.又因为外接球的表面积为8π,所以球的半径r为.连接AC,BD交于点E,设球心为O,则OE===,当球心O在线段PE上时,则PE=r+OE=, 所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×=;  当球心在线段PE的延长线上时,则PE=r-OE=, 所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)(2025·河南信阳模拟)六氟化硫结构为正八面体结构,如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点,若相邻两个氟原子之间的距离为m,则(　 　) A.该正八面体结构的表面积为2m2 B.该正八面体结构的体积为m3 C.该正八面体结构的外接球表面积为2πm2 D.该正八面体结构的内切球表面积为 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:对于A,由题知,各侧面均为边长为m的正三角形, 故该正八面体结构的表面积S=8××m2=2m2,故A正确; 对于B,连接AS,PS,则AS=PS=m,PS⊥底面ABCD, 故该正八面体结构的体积V=2××m2×m=m3,故B错误; 对于C,底面中心S到各顶点的距离相等,故S为外接球球心,外接球半径R=PS=m, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故该正八面体结构的外接球表面积S'=4π×=2πm2,故C正确; 对于D,该正八面体结构的内切球半径r===, 故内切球的表面积S″=4π×=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(2025·山东济宁模拟)若一个正四棱柱的表面积为64,高为2,则该正四棱柱的外接球的体积为　　　　.  解析:设正四棱柱的底面正方形的边长为a(a>0),则2a2+4a·2=2a2+8a=64,解得a=4或a=-8(舍去),而正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线,所以该正四棱柱的外接球的半径为R===3,所以该正四棱柱的外接球的体积为V=πR3=π×33=36π. 36π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.  解析:∵EF为球的直径,由正方体及球的对称性知,此球的球心为正方体的中心O.设正方体的棱长为2,则OF=OE=EF=C1B=,∴点O到正方体各棱的中点的距离均为,且正方体各面与球的交线均为圆,此圆即为正方体各面的内切圆,∴球的球面与该正方体各棱的公共点共有12个. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 300π 10.如图所示,已知正三棱柱侧面均与球相切,底面边长为30,此时球的表面积为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:过球心作与正三棱柱底面平行的截面,如图,则BM=BC=15, ∠OBM=,可得OM=BM·tan∠OBM=15×=5,即球的半径R=OM=5,所以球的表面积S=4πR2=300π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(2025·山东菏泽模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则下列结论正确的有　　　　.  ①R=3r;②R=6r;③V2=9V1;④2V2=27V1. ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由截面图可以看出,圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍,即可得R=3r, 圆柱的高等于球形巧克力的直径,即h=2r,V1=πr3,V2=πR2h=18πr3,则有2V2=27V1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(2025·四川雅安模拟)如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为,则该多面体外接球的表面积为　　　　.  8π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:把该多面体放入正方体中,如图,由于多面体的棱长为,则正方体的棱长为2,因此该多面体是由棱长为2的正方体连接各棱中点所得,于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点,该多面体外接球半径R等于球心到一个顶点的距离,即正方体面对角线的一半,则2R=,解得R=,所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积S=4π×=8π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(2025·广东中山模拟)已知半径为3,高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球O的表面上,则球O的体积为(　　) A.125π B. C. D. D B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设球O的半径为R,结合圆锥的轴截面可得:R2=32+(R-1)2,解得R=5, 所以球O的体积为V=πR3=π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(2025·重庆模拟)已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切,则此正三棱柱的体积为　　　　.  6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设正三棱柱的底面棱长为a,高为h,内切球的半径为R, 依题意4πR2=4π,解得R=1,所以正三棱柱的高h=2R=2,正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为×a=a,由题意R=a=1,所以a=2, 所以正三棱柱的体积V=×a×a×h=×2××2×2=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(2025·山东泰安模拟)已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上,若AB=BC=CD=DA=BD=4,平面ABD⊥平面BCD,则该球的表面积是　　　　.  80π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:记球心为O,△BCD的外接圆圆心为O1,△ABD的外接圆圆心为O2,BD的中点为E.因为AB=AD,所以AE⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AE⊂平面ABD,所以AE⊥平面BCD,由球的性质可知,OO1⊥平面BCD,所以OO1∥AE,同理OO2∥CE,所以四边形OO1EO2为矩形.因为AE=CE==6,所以O1E=O2E=2,O1C=4,所以OC==2, 所以外接球的表面积为4π×(2)2=80π. $$