专题2 等差数列（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块9数列中的第2个专题等差数列。本专题涵盖等差数列的定义、等差中项、等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 等差数列（讲义） 知识点1 等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 知识点2 等差数列前n项和 (1) ； ，其推导方法是倒序相加法． (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 知识点3 等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【考试题型1】利用等差中项的性质求值 【例1】（2023年·河南对口升学高考）已知数列是等差数列，且，则的值是（     ） A. 20 B. 30 C. 60 D. 80 【考试题型2】结合等差和等比数列，用分组求和的方法求数列的前n项和 【例2】（2023年·河南对口升学高考）设是公比为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 【考试题型3】利用等差数列的的性质求前n项和 【例3】（2022年·河南对口升学高考）若等差数列满足，则 . 【考试题型4】利用通项公式求公差 【例4】（2021年·河南对口升学高考）在等差数列中，，，则数列的公差为 . 【考试题型5】结合等差中项求等比数列的公比 【例5】（2020年·河南对口升学高考）已知等比数列中，公比，且，，成等差数列，求证：等比数列的公比. 题型考点一 等差数的定义、等差中项、通项公式 1．公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（     ） A．2 B．4 C． D． 2．若，a，1依次成等差数列，则（     ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 3．在等差数列中，已知，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．已知等差数列的公差为，则（     ） A． B． C． D． 5．下列数列中成等差数列的是（     ） A． B． C． D． 6．已知为公差不为0的等差数列，若，则（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（     ） A． B． C． D． 8．已知等差数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 9．与的等差中项为 ． 10．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式. 题型考点二 等差数列的前n项和 1．设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（     ） A．18 B．36 C．54 D．72 3．已知数列的前n项和为，则最小时，（     ） A．47 B．48 C．49 D．50 4．已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（     ） A．14 B．30 C．42 D．60 5．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，则其前项和 . 7．记等差数列的前项和为，若，，则 . 8．设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 9．等差数列的公差为d，数列的前n项和为 (1)已知，，，求d； (2)已知，求 10．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求使不等式成立的的最小值． 题型考点三 等差数列的性质 1．在等差数列中，，则（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知等差数列中，，，则等于（     ） A．48 B．49 C．55 D．54 3．已知等差数列的公差为，且，则（     ） A．9 B．11 C．13 D．15 4．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A．30 B．40 C．60 D．120 5．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A．21 B．23 C．28 D．30 6．在等差数列中，，，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 7．设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 8．已知在等差数列中，是方程的两个根，则 . 9．在等差数列中，若，则 . 10．设等差数列的前项和为，且，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块9数列中的第2个专题等差数列。本专题涵盖等差数列的定义、等差中项、等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 等差数列（讲义） 知识点1 等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 知识点2 等差数列前n项和 (1) ； ，其推导方法是倒序相加法． (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 知识点3 等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【考试题型1】利用等差中项的性质求值 【例1】（2023年·河南对口升学高考）已知数列是等差数列，且，则的值是（     ） A. 20 B. 30 C. 60 D. 80 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质，进行计算. 【解析】∵数列是等差数列， ∴根据等差数中项的性质，得到. 故. ∴. 故选：B. 【考试题型2】结合等差和等比数列，用分组求和的方法求数列的前n项和 【例2】（2023年·河南对口升学高考）设是公比为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解； （2）数列的前项和即为等比数列的前项和加上等差数列的前项和，故代入等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. 【解析】 【小问1详解】设等比数列的公比为 ∵，，∴，即 ∴（舍）或 ∴数列的通项公式为 【小问2详解】 ∵等差数列的首项为1，公差为2 ∴等差数列的前n项和为： 又∵等比数列的前n项和为： ∴数列的前n项和为： 【考试题型3】利用等差数列的的性质求前n项和 【例3】（2022年·河南对口升学高考）若等差数列满足，则 . 【答案】297 【解析】在等差数列中，， 故答案为：297. 【考试题型4】利用通项公式求公差 【例4】（2021年·河南对口升学高考）在等差数列中，，，则数列的公差为 . 【答案】 【解析】在等差数列中，，，，， 故答案为：. 【考试题型5】结合等差中项求等比数列的公比 【例5】（2020年·河南对口升学高考）已知等比数列中，公比，且，，成等差数列，求证：等比数列的公比. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，，成等差数列，所以， 所以在等比数列中，，，， 又因为，所以，故得证. 题型考点一 等差数的定义、等差中项、通项公式 1．公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算. 【解析】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 2．若，a，1依次成等差数列，则（     ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【解析】因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 3．在等差数列中，已知，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【解析】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 4．已知等差数列的公差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【解析】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 5．下列数列中成等差数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列， 故选：C． 6．已知为公差不为0的等差数列，若，则（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【解析】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以， 故选：B. 7．若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明. 【解析】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 8．已知等差数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求得数列第5项的值. 【解析】因为数列是等差数列，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：C. 9．与的等差中项为 ． 【答案】2 【分析】根据等差中项定义计算求解. 【解析】与的等差中项为:. 故答案为：2. 10．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式. 【答案】 【分析】由等差中项的定义可得，求得，再由等差数列的通项公式代入计算，即可求解； 【解析】， ，又， ，， . 题型考点二 等差数列的前n项和 1．设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质可求. 【解析】在等差数列中， 故选：D. 2．在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（     ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】由等差数列性质、求和公式计算即可求解. 【解析】在等差数列中，已知， 则该数列前8项和的值为. 故选：B. 3．已知数列的前n项和为，则最小时，（     ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】D 【分析】由二次函数性质即可求解. 【解析】因为，所以当时，最小. 故选：D. 4．已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（     ） A．14 B．30 C．42 D．60 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得 【解析】因为等差数列的首项，公差为， 所以 故选：B. 5．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式列方程，再结合等差数列求和公式进行求和计算. 【解析】由已知数列为等差数列， 则， 解得， 即， 故选：D. 6．已知数列中，，则其前项和 . 【答案】 【分析】由等差数列求和公式即可求解. 【解析】所求为. 故答案为：. 7．记等差数列的前项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前7项和. 【解析】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 8．设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【答案】3 【分析】由已知条件先求公差，再根据等差数列求和公式写出结合二次函数求出时最小. 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，所以，所以， 由等差数列的求和公式可知，，易知当时最小. 故答案为：3 9．等差数列的公差为d，数列的前n项和为 (1)已知，，，求d； (2)已知，求 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式即可求出公差； （2）由有，则即可得解. 【解析】解：（1）因为，所以， 又因为，所以 （2）由，即， 所以 10．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求使不等式成立的的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由，， 所以， 所以． （2）由（1）可知：，所以， 又，所以，即或， 所以使不等式成立的的最小值为8． 题型考点三 等差数列的性质 1．在等差数列中，，则（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式计算即可. 【解析】设等差数列的公差为，则， 所以， 所以， 故选：D. 2．已知等差数列中，，，则等于（     ） A．48 B．49 C．55 D．54 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求和. 【解析】等差数列中，，， 所以. 故选：A. 3．已知等差数列的公差为，且，则（     ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】由等差数列的性质得到，再结合通项公式即可求解. 【解析】因为，所以，解得， 所以． 故选：B． 4．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A．30 B．40 C．60 D．120 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可求. 【解析】因为为等差数列，故， 故选：C. 5．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A．21 B．23 C．28 D．30 【答案】C 【分析】根据等差数列性质得出，即可求出前7项的和. 【解析】由题意，， 在等差数列中，前项和为，若， ， ∴， 故选：C. 6．在等差数列中，，，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式来求解即可. 【解析】由设等差数列的公差为，则， 故， 故选：C. 7．设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【解析】由题可知：成等差数列， 所以， 又，所以， 故选：A. 8．已知在等差数列中，是方程的两个根，则 . 【答案】 【解析】是方程的两个根， ，， 故答案为：. 9．在等差数列中，若，则 . 【答案】 【解析】在等差数列中，因为， 又，所以，解得， 故答案为：. 10．设等差数列的前项和为，且，，则 . 【答案】 【解析】∵是等差数列，∴、、、成等差数列， ∴，即，解得， 又，即，解得， 故答案为：114． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$