第6章 统计 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末复习课 一、抽样方法 应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点： (1)用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数． (2)两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样． 角度1　简单随机抽样 [例 1]　下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________(填序号). ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． [解析]　 ①不是简单随机抽样． ②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样． ③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取． ④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样． [答案]　①②③④ 角度2　分层随机抽样 [例 2]　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？ [解]　用分层随机抽样抽取． ①∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4. 即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人． ②因副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人． 1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　) A．6　　　　　　　　　B．8 C．10 D．12 答案：B 2．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67 21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 79 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 解析：由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331，572，455，068.于是第4个样本个体的编号是068. 答案：068 二、样本的数字特征 为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个数；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则是处于中间位置的数；如果数据的个数是偶数，则是中间两个数据的平均数．平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；用方差s2反映样本数据分散程度的大小． 角度1　样本的中位数、众数和平均数 [例 3]　为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如下图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　) A．me＝m0＝ B．me＝m0< C．me＜m0＜ D．m0<me< [解]　30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me＝＝5.5，众数m0＝5， 平均值 ＝ ＝.∴m0＜me＜. [答案]　D 角度2　样本的方差及应用 [例 4]　甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下： 甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8 乙　7　8　6 8　6　7　8　7　5　9 试问10次射靶的情况较稳定的是________． [解] 甲＝＝7.1， 乙＝＝7.1. s＝[(4－7.1)2＋(7－7.1)2＋…＋(8－7.1)2]＝3.09， s＝[(7－7.1)2＋(8－7.1)2＋…＋(9－7.1)2]＝1.29. s＞s，∴乙较稳定． [答案]　乙 3．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下表： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？ 解析：甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好． 甲的方差是s＝(142＋62＋42＋162＋42) ＝104， 乙的方差是s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56. 因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡． 三、用样本的频率分布估计总体的分布 1．统计活动中的数据分析，可以采取图表来分析，如条形图、扇形图、折线图、直方图等，这样得到的结果更直观，更能体现出所占的份量，估计总体的分布． 2．主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点问题． [例 5]　下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)： 区间界限 [122，126) [126，130) [130，134) [134，138) [138，142) 人数 5 8 10 22 33 区间界限 [142，146) [146，150) [150，154) [154，158] 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比． [解]　(1)列出样本频率分布表： 分组 频数 频率 [122，126) 5 0.04 [126，130) 8 0.07 续表 [130，134) 10 0.08 [134，138) 22 0.18 [138，142) 33 0.28 [142，146) 20 0.17 [146，150) 11 0.09 [150，154) 6 0.05 [154，158] 5 0.04 合计 120 1.00 (2)画出频率分布直方图，如下图所示． (3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为＝≈0.19. 所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%. 4．从某中学参加2022年全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据． 分组 频数 频率 [70，80) 0.08 [80，90) 0.10 [90，100) ③ [100，110) 16 ① [110，120) 0.08 [120，130) ② 0.04 [130，140] 0.02 合计 50 (1)根据表中已知数据，你认为在①，②，③处的数值分别为______，______，______． (2)补全在区间[70，140]上的频率分布直方图； (3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？ 解：(1)由表中数据知，随机抽取了50人，所以①＝＝0.32，②＝50×0.04＝2， ③＝1－0.08－0.1－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.36. 故①②③处分别填0.32，2，0.36. (2)经计算，频率分布表为： 分组 频数 频率 频率/组距 [70，80) 4 0.08 0.008 [80，90) 5 0.10 0.010 [90，100) 18 0.36 0.036 [100，110) 16 0.32 0.032 [110，120) 4 0.08 0.008 [120，130) 2 0.04 0.004 [130，140] 1 0.02 0.002 合计 50 1 0.100 根据频率分布表可补全频率分布直方图， (3)在随机抽取的50名同学中有4＋2＋1＝7(名)同学成绩不低于110分，可以去参加决赛，故估计参加预赛的同学中能参加决赛的人数大概为：500×＝70. 四、分层随机抽样的平均数和方差、百分位数 1．计算分层随机抽样的平均数的公式：＝ω11＋w22＋…＋ωnn＝ii，计算分层随机抽样的方差的公式：s2＝i[s＋(i－)2]. 2．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝np；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项教据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [例 6]　(1)计算数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的40%分位数和75%分位数； (2)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的可能性大小是0.19. ①求x的值； ②现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ ③在②中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是40 kg，50 kg，60 kg，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． [解]　(1)从小到大排列后可得：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因为10×40%＝4，10×75%＝7.5， 所以这组数据的40%分位数是＝4.5； 75%分位数是该组数据的第8项数据，即为8. (2)①∵＝0.19，∴x＝380. ②初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名). ③初一年级应抽取学生的人数×750＝18， 初二年级应抽取学生的人数×750＝18， 所以该校所有学生体重的平均数约为 ＝×40＋×50＋×60＝48.75. 该校所有学生体重的方差约为 s2＝×[1＋(40－48.75)2]＋×[2＋(50－48.75)2]＋×[3＋(60－48.75)2]＝62.812 5. 5．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了全球主要20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表： 国家和地区 排放总量/千吨 人均排放量/吨 国家和地区 排放总量/千吨 人均排放量/吨 中国 10 330 000 7.4 沙特阿拉伯 490 000 16.6 美国 5 300 000 16.6 巴西 480 000 2.0 欧盟 3 740 000 7.3 英国 480 000 7.5 印度 2 070 000 1.7 墨西哥 470 000 3.9 俄罗斯 1 800 000 12.6 伊朗 410 000 5.3 日本 1 360 000 10.7 澳大利亚 390 000 16.9 德国 840 000 10.2 意大利 390 000 6.4 韩国 630 000 12.7 法国 370 000 5.7 加拿大 550 000 15.7 南非 330 000 6.2 印度尼西亚 510 000 2.6 波兰 320 000 8.5 则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少． 解：把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列： 1．7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，8.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9. 20×25%＝5，20×50%＝10，20×75%＝15， 所以这20个数的25%分位数为＝5.5. 所以50%分位数为＝7.45， 所以75%分位数为＝12.65. 所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的四分位数为： 25%分位数 50%分位数 75%分位数 5.5吨 7.45吨 12.65吨 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$