第2章 2.2 函数的表示法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.2　函数的表示法 学习目标 素养要求 1.掌握函数的三种表示方法． 2.会求函数的解析式． 1.借助函数的表示的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过作函数的图象，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的三种表示法 ►知识填空 1． 2.函数三种表示法的优缺点 [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√“，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数y＝x2的图象向右平移3个单位可得函数y＝(x＋3)2的图象．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)和g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x) 2 1 4 3 若g(f(x))＝2时，则x等于(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 解析：选A　若g(f(x))＝2，由表知g(1)＝2，∴f(x)＝1，∴x＝4. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析：选A　法一：令2x＋1＝t， 则x＝. 所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 4．若函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________． 答案：[－5，5]　[－2，3] 题型一　函数的三种表示方法 [例 1]　某商场新进了10台冰箱，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　 　已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示函数； (3)画出函数t的图象． 解：(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组解得 所以t＝x＋，又因为x≤20，x为正整数， 所以函数的定义域为{x∈N＋|0<x≤20}． (2)x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示． 题型二　函数的图象及应用 [例 2]　作出下列函数的图象，并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2 －4x－3(0≤x<3). 解析：(1)因为x∈Z，所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z. (2)因为x∈[0，3)，所以函数图象是抛物线的一段(如图②)，由图象知，y∈[－5，3). 1．描点法作函数图象的“三步曲” 一列二描三连线：(1)取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表；(2)在平面直角坐标系中描出表中相应的点；(3)用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象． 2．作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点．例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．　　 　作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞). 解：(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5. 函数图象过点(0，1)，(1，3)，(2，5). 图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为[1，5]. (2)当x＝2时，y＝1；当x＝4时，y＝；当x＝6时，y＝.图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为(0，1]. 题型三　求函数的解析式 [例 3]　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (3)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f＝x，求f(x). 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b) ＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x) ＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)法一：(配凑法) ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x) ＝x2－1(x≥1). 法二： (换元法) 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1). ∴f(x) ＝x2－1(x≥1). (3)在已知等式中，将x换成，得 f＋2f(x)＝，与已知方程联立，得 消去f，得f(x)＝－＋. 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)解方程组法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).　　 1．已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________． 答案：2x2－x＋1 2．已知f＝，则f(x)＝________． 答案：(x≠0) 题型四　分段函数及其应用 [例 4]　已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数f(x)的图象，观察图象写出此函数的值域． 解析： (1)因为5>4, 所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0， 所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4， 所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如下图所示， 观察图象可知此函数的值域为(－∞，8]. 1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象，在作每一段图象时，要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　 [课堂小结] 1．一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线． 2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，并应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$