第1章 4.2 一元二次不等式及其解法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4.2　一元二次不等式及其解法 学习目标 素养要求 1.通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式． 2.掌握含有参数的一元二次不等式的解法． 1.借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象的核心素养． 2.通过理解一元二次方程与一元二次不等式的关系，提升数学抽象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　一元二次不等式的有关概念 [问题1]　当a＞0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α＜β，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ 答：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x＜α或x＞β}． [问题2]　若问题1中的a＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ 答：解集为{x|α＜x＜β}． [问题3]　若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ 答：当a＞0时，不等式的解集为R；当a＜0时，不等式的解集为∅. ►知识填空 1．一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式及解集 一般形式 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c为常数且a≠0). 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点二　一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系 ►知识填空 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不等的实根x1，2＝(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 续表 不等式的解集 f(x)＞0 {x|x＜x1或x＞x2} R f(x)＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. (3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A． B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．∪(1，＋∞) 答案：D 3．不等式4x2－9<0的解集是________． 解析：原不等式可化为x2<，即－<x<. 答案： 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是_______________________________________________________． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　解一元二次不等式 [例 1]　解下列不等式； (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. 解：(1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3， x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3，0)和(5，0)，(如下图所示) 观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}． (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. ∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为{x|－3＜x＜1}． (3)原不等式移项整理得 3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根． 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点． ∴原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集.　　 　解下列不等式： (1)－x2＋5x－6>0； (2)x2－4x＋5>0. 解：(1)不等式可化为x2－5x＋6<0. 因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2， x2＝3. 由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2<x<3}． (2)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图②).观察图象可得，不等式的解集为R. 题型二　解含参数的一元二次不等式 [例 2]　解关于x的不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0. 解：ax2－(a＋2)x＋2≥0可转化为(ax－2)(x－1)≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x－1≤0，得x≤1. ②当a＞0时，原不等式可化为(x－1)≥0. 当＞1，即0＜a＜2时， 不等式的解集为. 当＝1，即a＝2时，不等式的解集为R. 当＝＜1，即a＞2时， 不等式的解集为. ③当a＜0时，原不等式可化为 (x－1)≤0， 所以不等式的解集为. 综上，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用． (1)若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论． (2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式Δ进行讨论． (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．　　 　解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 解：原不等式变形为(x－2a)(x＋a)＜0， ①若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}； ②若a＜0，则2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； ③若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅. 题型三　三个二次之间的关系 [例 3]　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0. 又×2＝＜0，则c＞0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－. 又＝－， ∴b＝－a，c＝－a. ∴不等式变为x2＋x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0. 又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0， 解得－3＜x＜， 故所求不等式的解集为. 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 　　 　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解：∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1，2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由根与系数的关系得－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞). [课堂小结] 1．一元二次不等式的解法 求解一元二次不等式时，首先确保二次项系数为正；然后求出相应方程的根；最后结合二次函数图象，写出解集：大于号取两边(大于大根，小于小根)，小于号取中间(大于小根，小于大根). 2．对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论． 解这类问题容易出现的失误是未对二次项系数进行讨论，特别是未考虑它是否为零的情况． 3．三个“二次”之间关系的应用问题的解法 若已知一元二次不等式的解，则由不等式解的结构形式可推知它的系数所满足的条件(即相应的一元二次方程的两根及二次项系数的符号)，再利用根与系数的关系可解决有关此类问题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$