第1章 4.1 一元二次函数（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 §4.1　一元二次函数 学习目标 素养要求 1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系． 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的简单性质． 1.通过一元二次函数的学习，培养直观想象的核心素养． 2.借助于求一元二次函数的最值，提升数学运算的核心素养 [自主梳理] 知识点一　一元二次函数及图象变化 [问题1]　在初中已学习过一元二次函数，那么一元二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？ 答：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作一元二次函数，它的定义域为R. [问题2]　如何由y＝x2的图象得到y＝x2－2x－1的图象？ 答：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位． ►知识填空 1．一元二次函数 (1)定义：一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项． (2)三种不同形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0). ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．一元二次函数的图象变换 (1)一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向左平移h个单位长度(h＞0)，再向上平移k个单位长度(k＞0)得到． (2)一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向右平移|h|个单位长度(h＜0)，再向下平移|k|个单位长度(k＜0)得到． 知识点二　一元二次函数的性质 ►知识填空 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是x＝h；顶点坐标是(h，k) 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间[_h，＋∞)上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间[h，＋∞)上函数值y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝k [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是一元二次函数．(　　) (2)函数f(x)＝ax2－ax＋1(a≠0)的对称轴为x＝－.(　　) (3)函数f(x)＝－x2＋x＋1的最小值为.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．下列关于一元二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是(　　) A．开口向下，顶点(1，1) B．开口向上，顶点(1，1) C．开口向下，顶点 D．开口向上，顶点 答案：D 3．函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A．－1　　　　　　　　B．0 C．3 D．4 答案：B 4．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是 ________． 解析：y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故所求顶点坐标为(－1，－3). 答案：(－1，－3) 5．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为________________． 解析：将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5. 答案：y＝x2－6x＋5 题型一　一元二次函数图象的画法 [例 1]　画出函数y＝2x2－4x－6的草图． 解：y＝2x2－4x－6 ＝2(x2－2x)－6 ＝2(x2－2x＋1－1)－6 ＝2[(x－1)2－1]－6 ＝2(x－1)2－8. 函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 画法步骤： (1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，画出直线x＝1； (2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如下图所示． 画一元二次函数的图象重点体现图象的特征“三点一线一开口”： (1)“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点； (2)“一线”是指对称轴这条直线； (3)“一开口”是指抛物线的开口方向．　　 　画出函数y＝x2－4x－12的图象． 解：y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16. 函数图象开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16). 令y＝0，即x2－4x－12＝0， 得x＝－2或x＝6. 故图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(6，0). 图象如下图所示： 题型二　一元二次函数图象的变换 [例 2]　在同一坐标系中作出下列函数的图象，并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． ①y＝x2；②y＝x2－2；③y＝2x2－4x. 解：(1)列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如下图所示． (2)y＝2x2－4x＝2(x2－2x) ＝2(x2－2x＋1－1) ＝2(x－1)2－2. 由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一：先把y＝x2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图象，然后把y＝2x2的图象向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图象，最后把y＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 所有一元二次函数的图象均可以由函数y＝x2的图象经过变换得到，变换前，先将一元二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下： y＝x2y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k：当a＜0时，y＝x2y＝－x2 y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k. 其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移．　　 　(1)由y＝－2x2的图象，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图象？ (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？ 解析：(1)把y＝－2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图象． (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图象． 题型三　一元二次函数解析式的求解 [例 3]　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8，求一元二次函数的解析式． 解：法一：由题意，得 解得 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二：∵一元二次函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)， ∴抛物线的对称轴为x＝＝， 又∵函数最大值为8， ∴y＝a＋8. 将(2，－1)代入，得， a＋8＝－1，解得a＝－4. ∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 故所求一元二次函数的解析式为 y＝－4x2＋4x＋7. 求一元二次函数解析式的步骤 　　 　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式． 解：法一：因为一元二次函数图象的对称轴是x＝－1， 又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2. 因为图象过点A(－3，0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝. 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2 ＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－. 法二：因为二次函数图象的对称轴为x＝－1， 又图象过点A(－3，0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1，0)也在图象上， 所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1). 由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 分别代入上式，解得a＝－或a＝. 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－. 题型四　一元二次函数的应用 [例 4]　已知函数y＝x2－3x－， (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值； (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围． 解：(1)对函数右端的表达式配方，得 y＝(x－3)2－， 所以函数图象的顶点坐标为， 对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值． (2)由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－， 当x＝1时，ymax＝×4－＝－， 所以函数值的取值范围为． 解析式、图象、性质三者各有特点又紧密联系，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．　　 1．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________． 答案：10　－2 2．已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解：y＝a(x＋1)2＋1－a. 当a＝0时，函数在区间[－1，2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去； 当a>0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而增大，最大值为8a＋1＝4，解得a＝； 当a<0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3. 综上，a的值为－3或. [课堂小结] 1.画一元二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 2．若求一元二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论： (1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； (2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$