第一节 探究：杠杆的平衡条件（高效培优讲义）物理沪科版2024八年级全一册

第1节 探究：杠杆的平衡条件 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 杠杆 1 题型2 杠杆的平衡条件 3 题型3 生活中的杠杆 3 【能力培优练】 6 【链接中考】 34 【重难题型讲解】 题型1 杠杆 1.杠杆的概念：在力的作用下，能绕固定点转动的硬棒，叫做杠杆。 2.杠杆的五要素 用木棍撬石头，撬棍就是杠杆，杠杆是一种常用的简单机械，由五个要素组成: （1）支点：杠杆绕着转动的固定点。 （2）动力：使杠杆转动的力。 （3）阻力：阻碍杠杆转动的力。 （4）动力臂：支点到动力作用线的距离。 （5）阻力臂：支点到阻力作用线的距离。 点拨 对杠杆的理解： （1）作为杠杆的物体可以是直的，也可以是弯的。即杠杆可以是各种各样的形状。 （2）支点一定在杠杆上，动力和阻力可以在支点两侧，也可在支点同侧。作用在杠杆上的动力和阻力是相对而言的，动力和阻力使杠杆转动的方向一定是相反的，但动力和阻力的方向不一定相反。 （3）力臂不一定在杠杆上，当力的作用线不垂直于杠杆时，力臂与杠杆不重合。力臂包含了力的作用点和力的方向两个要素。 3.力臂的画法: （1）一找点：先确定杠杆的支点和动力、阻力的方向。 （2）二画线：画出动力和阻力的作用线，必要时用虚线将力的作用线延长。 （3）三作垂线段：从支点向作用线作垂线，垂线段即为动力臂或阻力臂。 （4）四用括号来体现：最后用大括号或箭头勾出力臂，并在旁边写上字母或。 【典例1-1】如图所示是我国古代运送巨木的劳动情景示意图。 他们通过横杆、支架、石块等，将巨木的一端抬起，垫上圆木，以便将其移动到其他地方。关于此情景中涉及物理知识应用说法正确的是（　　） A．此情景中的横杆是费力杠杆 B．使用横杆抬起巨木，目的是省距离 C．向巨木方向调整支架的位置可以更省力 D．只将巨木一端抬起的过程中，巨木不能看作一个杠杆 【典例1-2】如图所示是一种外型新颖的手动榨汁器。在A处用力下压手柄，容器中的水果受到挤压，可快速榨出果汁。此时，榨汁器手柄的杠杆模型是（   ） A．B．C． D． 跟踪训练1如图是搬运泥土的独轮车，使用时可视为杠杆。车和泥土的总重，从A点提起独轮车把手的力是F。独轮车抬起过程中，下列说法正确的是（    ） A．独轮车的重心是支点 B．独轮车属于费力杠杆 C．抬运泥土时，F的力臂是1.6m D．F的大小至少是200N 跟踪训练2图甲为某停车场入口处的车闸杆。图乙为此车闸杠杆示意图，为质量分布均匀的闸杆的支点，闸杆的重力为60N，长度为3.6m，到支点的距离为0.6m。下列说法正确的是（　　） A．适当减小的间距，就可减小端升起闸杆的动力 B．要将闸杆升起（忽略摩擦），至少需在端施加的力为120N C．升起闸杆时，若施加在端的力为动力，此时闸杆是省力杠杆 D．升起闸杆时，在同一竖直面内沿方向施力比沿方向施力更省力 题型2 杠杆的平衡条件 1．杠杆平衡状态：杠杆静止或匀速转动（可以倾斜平衡）。 提出问题：杠杆在满足什么条件时才会平衡？ 2.实验探究 （1）提出问题：动力、动力臂与阻力、阻力臂之间满足怎样的关系时，杠杆能够平衡？ （2）猜想与假设： （3）设计实验和进行实验 （4）使用的器材：弹簧测力计、钩码、带刻度的杠杆、铁架台。 （5）进行实验与收集证据： ①调节平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡。 ②在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节位置，使杠杆重新平衡。（此时可以调平衡螺母吗？不能） ③把支点左边的钩码重当作动力，支点右边的钩码重当作阻力，读出动力臂和阻力臂，将各数值填入表格中。 实验次数 动力/N 动力臂/cm 动力×动力臂 阻力/N 阻力臂/cm 阻力×阻力臂 （6）结论：动力×动力臂=阻力×阻力臂 。即： 3.交流讨论 （1）改变钩码的个数和钩码的位置进行多次实验的目的：避免实验出现偶然性，得出普遍适用规律。 （2）挂钩码前，如何调节平衡螺母？调节杠杆两端的螺母，哪边高向哪边调使杠杆在水平位置平衡。 （3）实验前，为什么将杠杆的中点作为支点并调节水平平衡？避免杠杆自身重力对实验的影响。 （4）实验时，为什么要使杠杆在水平位置平衡？便于测量力臂。 （5）若用弹簧测力计代替钩码，①应当沿竖直方向拉测力计，其原因是便于读出力臂数值；②当斜拉测力计时，测力计读数会偏大；③测力计由1到2再到3时，拉力大小变化是先变小，后变大；其目的是改变力的方向。 【典例2-1】“探究杠杆的平衡条件”实验中，杠杆在水平位置平衡，如图所示。下列操作能使杠杆在水平位置保持平衡的是（　　） A．同时将左右两侧的钩码取下一个 B．将、两处所挂的钩码交换位置 C．将右侧钩码取下一个，左侧钩码向支点移动一格 D．将左侧钩码向支点移动两格，右侧钩码向支点移动三格 【典例2-2】17．根据“探究杠杆的平衡条件”实验要求，完成下列各题： (1)实验开始时，杠杆的位置如图1所示，杠杆此时处于 （选填“平衡”或“非平衡”）状态。需将平衡螺母向 （选填“左”或“右”）移动，才能使杠杆在水平位置平衡，这样调节的目的是 。 (2)要使图2中杠杆平衡，应在A处竖直向上施加 N的拉力（题中的每个钩码重力0.5N）。当弹簧测力计由竖直地拉着变成倾斜地拉着，使杠杆在水平位置静止时，弹簧测力计的示数将 （选填“变大”、“不变”或“变小”）；请你在图2等效图中画出此时弹簧测力计拉力的力臂 。 (3)有同学根据自己的实验数据，得到如下结论：动力×支点到动力作用点的距离=阻力×支点到阻力作用点的距离。这个结论与杠杆的平衡条件不符，原因是实验过程中没有 （选填序号：①改变力的大小、②改变力的方向、③改变力的作用点）。 跟踪训练1如图所示，关于“杠杆平衡条件”实验的相关说法正确的是（　　） A．加减钩码进行实验过程中，还可以调节平衡螺母 B．在两侧的钩码下同时各添加一个相同的钩码，杠杆依然水平平衡 C．该实验可得出结论：当阻力和阻力臂乘积一定时，动力臂大，动力就大 D．多次实验是为了得到普遍规律 跟踪训练2如图是小华同学用于“探究杠杆的平衡条件”的实验装置。 ① 1 10 2 5 ② 2 10 4 5 ③ 3 4 2 6 (1)实验前杠杆静止如图甲，此时杠杆 （选填“平衡”或“不平衡”），应将平衡螺母向 （选填“左”或“右”）调节使杠杆在水平位置平衡，目的是：更方便测量 （选填“力”或“力臂”）。 (2)在杠杆调节到水平位置平衡后，利用钩码和刻度尺测量出杠杆平衡时各个力及其力臂，实验数据如上表表格设计的错误是： ，多次实验的目的是： （选填“减小误差”或“找正确规律”）。最终得到杠杆的平衡条件是：动力与动力臂的乘积等于阻力与阻力臂的乘积。 (3)如图乙，由杠杆的平衡条件可知杠杆的 （选填“左”或“右”）端会下沉；要使杠杆重新在水平位置平衡，在不改变两侧钩码各自数量的前提下，仅需把左侧钩码向右移动 格； 题型3 生活中的杠杆 1.省力杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂大于阻力臂，平衡时动力小于阻力（）。省力但是费距离。 （3）常见的省力杠杆：瓶盖起子、羊角锤起钉子、独轮车、钳子等。 2.费力杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂小于阻力臂，平衡时动力大于阻力（）。费力省距离。 （3）常见的费力杠杆：镊子、缝纫机脚踏板、钓鱼竿、筷子夹菜、皮划艇的桨、扫帚扫地等。 3.等臂杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂等于阻力臂，平衡时动力等于阻力。这样的杠杆既不省力也不费力（）。 （3）常见的等臂杠杆：天平、定滑轮。 点拨 判断生活中的杠杆种类 先找到支点、动力和阻力作用点，粗略判断动力臂和阻力臂的大小。 【典例3-1】2024年9月，中国队在亚洲青年赛艇锦标赛20个比赛项目中斩获13枚金牌，为祖国赢得荣誉。如图所示，赛艇的桨可视为杠杆，下列工具正常使用时，与桨属于同类杠杆的是（   ） A．筷子 B．瓶起子 C．核桃夹 D．羊角锤 【典例3-2】如图所示，这是用来夹核桃的核桃夹，核桃夹是（　　） A．省力杠杆，且省距离 B．费力杠杆，但省距离 C．省力杠杆，但费距离 D．等臂杠杆，既不省力也不费力 跟踪训练1《天工开物》是明代宋应星的科技巨著，它系统记载的农工技艺，为后世提供了人与自然和谐共生的智慧。《天工开物·乃粒》记载了古人用“耒耜”耕地的场景，如下图所示。为了更容易开垦硬土壤，下列做法最合理的是（　　） A．给耒耜安装更宽大的脚踏板 B．将耒耜的手柄加长 C．在耒耜上加绑更多的物体 D．把耒耜的刃口磨得更锋利 跟踪训练2防烫夹常用于从蒸锅中取出盛有食物的盘子，使用时根据盘子大小可以调节夹子张开角度。图是使用防烫夹取出盘子的情境，将防烫夹视为杠杆，下列说法正确的是（　　） A．C点是支点 B．食物和盘子的总重力为阻力 C．使用时是省力杠杆 D．使用时省距离 【能力培优练】 1．如图是《天工开物》中记载的踏碓（duì）舂米的情景。踏碓被架在木杠上，可以绕着固定点转动，踏碓的前端装有圆锥状石块，用脚反复向下踩踏和松开碓后端，就可以舂米。关于该脚踏碓说法正确的是（　　） A．被踩起的踏碓属于费力杠杆 B．舂米时该装置可以省功 C．圆锥状的石块为了增大舂米时的压力 D．碓从高处落下的过程中机械能变大 2．如图所示是我们熟悉的自行车，则下列关于车及车头组件的说法中正确的是（　　） A．车轮中的滚动轴承是为了增大摩擦力 B．刹车闸是通过增大压力的方法来增大摩擦力 C．车龙头是一个费力的轮轴 D．停放在路面的自行车受到的重力和自行车对地面的压力是一对平衡力 3．如图所示是使用镊子夹物品的情景，此时的镊子（　　） A．是一个省力杠杆 B．是一个费力杠杆 C．是一个等臂杠杆 D．无法确定是哪种类型的杠杆 4．水龙头手柄可视为下图所示的杠杆，O为支点，F为阻力，分别用力沿a、b、c、d方向都可以关闭水龙头，则用力最小时的方向是（　　） A．a B．b C．c D．d 5．如图所示，是一种铡刀切甘蔗时的示意图，下列说法正确的是（　　） A．铡刀实质上是一种费力杠杆 B．手沿F2方向用力比沿F1方向时更省力 C．把甘蔗放在b点比放在a点更容易切断 D．切断甘蔗时，使用铡刀的手下压距离小于甘蔗的直径 6．在下列所述的简单机械中，使用时属于费力杠杆的是（    ） A．用钢丝钳剪铁丝 B．用筷子夹食物 C．修枝剪刀 D．开瓶器开瓶盖 7．如图所示，O是支点，在B端挂一重物，为使杠杆在水平平衡，要在A端施加一个拉力，下列说法正确的是（　　） A．最小 B．最小 C．最小 D．最小 8．初夏到来，柳叶湖旅游度假区水上运动项目风生水起。如图，在柳叶湖训练的运动员手中的桨可视为杠杆，下列工具正常使用时，与桨属于同类杠杆的是（　　） A．拧螺丝时使用的扳手 B．剪铁丝时使用的钢丝钳 C．钓鱼时使用的鱼竿 D．修剪树枝时使用的园艺剪 9．《墨经》最早记述了秤的杠杆原理。如图中“标”“本”表示力臂，“权”“重”表示力。以下说法正确的是（　　） A．“权”小于“重”时，A端一定上扬 B．“权”小于“重”时，若要使杠杆水平平衡，“标”一定大于“本” C．增大“重”时，若要使杠杆水平平衡，应把“权”向靠近提纽方向移动 D．若使用有缺损的“权”来称“重”，测量结果会偏小 10．如图轻杆，为支点，物重为30N，，在竖直向上的拉力作用下始终保持平衡状态。下列说法正确的（　　）   A．该杠杆与镊子类型相同 B．图甲位置时，拉力大小为15N C．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力不变 D．图甲位置时，拉力与物重之比为 11．如图所示，赛艇的船桨是一种杠杆，以O为支点，手握A点只要移动较小的距离，就能使桨板在水中移动较大的距离，则该杠杆（       ） A．省力，省距离 B．费力，费距离 C．省力，费距离 D．费力，省距离 12．骨骼、肌肉和关节等构成了人体的运动系统，人体中最基本的运动大多是由肌肉牵引骨骼绕关节转动产生的。从物理学的视角看，可以认为是杠杆在工作。下列关于人体中的杠杆说法正确的是（　　） A．图甲：手托重物时，可视为省力杠杆 B．图甲：该杠杆的动力为肱二头肌对前臂的牵引力，阻力为重物所受的重力 C．图乙：踮脚时，可视为费力杠杆 D．图乙：向上踮脚的过程中，腓肠肌的收缩距离大于足部骨骼的移动距离 13．如图甲所示是《天工开物》里记载的一种捣谷的踏碓，“横木穿插碓头，碓嘴为铁，足踏其末而舂之”。若碓头的质量为18kg，AO︰BO=5︰3，捣谷人双手与扶手之间的作用力为零。下列说法正确的是（　　） A．图中所示的踏碓是省力杠杆 B．人右脚用力踩B的力越大，左脚对地面压力越大 C．支点O距离B端比距离A端更近是为了省距离 D．A端下落0.5m，碓头重力做功为54J 14．“秤人”是立夏节风俗，流行于江南地区，每逢此节，家家用大秤秤人，如图1所示，至立秋日，又秤一次，以观察夏季体重的变化，希望孩子健康成长，如图2所示，小孩和篮子的总质量为20kg，调整秤砣的位置，使杆秤处于水平平衡状态（忽略绳重和杆重），此时，。下列说法正确的是（　　） A．该秤砣的质量为4kg B．篮子里换一个更重的孩子，应将秤砣向左移动 C．若换更轻的秤砣，可以增大该杆秤的量程 D．要使该杆秤的量程变大，可以将秤的悬挂点O左移一些 15．如图所示，有一根均匀铁棒，长为，，重力，为了不使这根铁棒的端下沉，所需外力至少应为 N。 16．2025年是国家卫生健康委启动“体重管理三年行动”的开局之年，肥胖防控被提升至全民健康的战略高度。做俯卧撑能锻炼上肢、腰部及腹部的肌肉。如图所示，小明做俯卧撑时可视为一个杠杆，其重心在A处，手掌作用在地面B处，已知小明体重600N。则动力臂为 m，两只手掌对地面的压力为 N。 17．我国古人运送巨木的劳动情境如图所示。他们通过横杆、支架、石块等，将巨木的一端抬起，垫上圆木，以便将其移到其他地方。垫上圆木的作用是减小 ，支架下方垫上一块面积大的石块的作用是通过增大受力面积，减小 ，利用横杆将巨木抬起时，横杆相当于 杠杆（选填“省力”或“费力”）。 18．如图甲所示为赛艇运动员划桨时的情景，划桨时桨绕固定轴转动。 (1)使赛艇前进的力是 （填“运动员”或“水”）施加的； (2)赛艇的桨是一个省 （填“力”或“距离”）杠杆； (3)如图乙为划桨时桨的简化平面图，其中O为固定轴，AO长0.8m，AC长2.8m，B点为AO的中点，F2为水对桨的作用力，大小为200N。运动员在训练中会自然“保持力的高效传递”（即达到相同效果时更省力），则运动员在此刻施加的最小力为 N，并在乙图中画出这个力的示意图。（计算结果有根号保留根号） 19．一块厚度、密度均匀的长方形地板砖放在水平地面上，装修师傅用一个竖直向上的力，用如图所示甲、乙两种方式，使其一端抬离地面。则F甲 F乙（选填“>”“=”或“<”）。 20．如图1所示，甲、乙两同学用长1.6m粗细均匀的轻质木杆抬水。水和水桶总重为300N，水桶挂在视为水平木杆的A处且距离甲同学的肩膀（B处）为1.0m，则甲同学抬水时所用力的大小为 N。（不计木杆重力，两位同学各自对木杆的力的作用点之间距离近似认为是1.6m且可将轻质木杆看成如图2所示的杠杆）                   图1                                       图2 21．如图所示，这是我国古代的“舂米石臼”的简化示意图，人用力踩下A端，使B端的重锤翘起，收脚后，重锤由于受到重力作用下落，打在石臼内的谷物上，帮谷物脱壳。此装置属于 （选填“省力”或“费力”）杠杆。请举出一个生活中应用同类型杠杆的实例： 。 22．如图甲所示，赛龙舟是中国端午节习俗之一、图乙是运动员划船桨示意图，OA=0.6m，AB=0.4m，运动员一只手在船桨上端O点，另一只手对船桨A处的拉力F1=500N，水对该船桨的推力F2 = N。为获得更大的推力，A点应 （选填“靠近”或“远离”）O点一些。 23．如图所示，手推车需要向右经过障碍物A．若竖直向上抬扶把，这时手推车可以视为杠杆，请作出动力和动力臂。 24．如图甲所示，是古代的取水工具——桔槔，可以简化为图乙所示的杠杆模型。请在图乙中画出动力F1的力臂l1，并在A点画出阻力F2的示意图。 25．图甲所示是某实验小组探究“杠杆的平衡条件”的实验装置。 (1)挂钩码前，杠杆在图甲所示的位置静止，此时杠杆处于 （选填“平衡”或“非平衡”）状态；要想使杠杆在水平位置平衡，接下来应将杠杆右端的螺母向 （选填“左”或“右”）侧调节； (2)图乙所示是一个平衡的杠杆，如果在杠杆两侧挂钩码处各加一个相同的钩码，杠杆将 （选填“保持平衡”“顺时针转动”或“逆时针转动”）； (3)某同学提出，若支点不在杠杆的中点，杠杆的平衡条件是否仍然成立？于是该小组利用图丙所示的装置进行探究，以弹簧测力计的拉力为动力，钩码处绳子的拉力为阻力，多次改变动力作用点的位置进行实验发现：当杠杆水平平衡时，总是大于，其原因可能是 对杠杆平衡有影响； (4)为了进一步验证实验结论，某同学又做了图丁所示的实验，将弹簧测力计从a位置移动到c位置，在此过程中杠杆始终在水平位置平衡，则弹簧测力计示数的变化情况为 。下列实例中，与图丁中杠杆类型相同的是 （选填序号）。 A．钢丝钳    B．天平    C．瓶盖起子    D．钓鱼竿 26．杆秤是我国古代的一种度量衡工具，它承载着中华民族悠久的文化内涵。跨学科实践活动中，同学们在学习了杠杆知识后制作了简易杆秤。 任务一：选材组装 (1)如图所示，用长度约为40cm较光滑的长竹筷作为秤杆，用细线系一个20g的钩码作为秤砣，把空塑料盘挂在A点作为秤盘，在B点系一根绳作为提纽，则 点相当于支点； 任务二：标定刻度 (2)定盘星：秤盘不放物体时，提起提纽，调节秤砣细线位置使杆在 位置平衡，用记号笔标出秤砣细线在秤杆上的位置，该位置对应的刻度值为 g，即定盘星。此步骤抵消杆与盘的自重影响； (3)定星花：在秤盘中逐一添加50g的砝码，调节秤砣细线位置使秤杆水平平衡，标记细线在秤杆上的位置，再测量该标记线距离B点的长度（如表格所示）。根据数据规律，350g的刻度值标记应距离B点 cm； 托盘中砝码总质量/g 50 100 150 200 标记线距离B点的长度/cm 6 11 16 21 任务三：测试调整 (4)用刻度尺测出定盘星到提纽的距离1cm。将橡皮擦放入秤盘，调节秤砣使杆秤水平平衡，此时秤砣细线到提纽的距离为2.5cm，则这块橡皮擦质量为 g； 任务四：改进优化 (5)为增大杆秤的称量范围，可将提纽B适当向 （填“左”或“右”）调节。 27．拉杆箱为人们的旅途提供了极大的便捷。 (1)如图所示为一拉杆箱示意图，将其视为杠杆，为支点，拉杆箱所受重力，为，OC为。用力在点沿图示方向提起拉杆箱，则它属于 杠杆，为 N。 (2)使拉杆箱在图示位置静止的最小动力为 。生活中，常把箱内较重物品靠近点摆放，这样使拉杆箱在图示位置静止的最小动力将 （选填“变大”、“变小”或“不变”）。 (3)拉杆箱底部安装轮子除了 摩擦外，还通过 动力臂的方式使拉动更省力（以上两空选填“增大”或“减小”）。 【链接中考】 1．（2025·四川·中考真题）使用各种简单机械，可以使我们的工作和生活更省力、更方便。下列工具中属于省力杠杆的是（　　） A．筷子 B．托盘天平 C．钳子 D．镊子 2．（2025·广东广州·中考真题）图a所示的斜拉桥，可逐步简化成图b、c、d的模型； (1)以O点为支点，在图d中作出的力臂 ； (2)为了减小钢索承受的拉力，可适当 （选填“升高”“降低”）钢索悬挂点在桥塔上的高度，理由是： 。 3．（2025·吉林长春·中考真题）“探究杠杆的平衡条件”的实验装置如图甲所示，所用的钩码质量均相同。 (1)杠杆不挂钩码时左端低、右端高，向 调节螺母，直至杠杆在水平位置平衡。 (2)在点挂2个钩码，在点挂 个钩码，使杠杆恢复水平平衡。取下点所挂的钩码，用弹簧测力计在点施加一个竖直向 的力，仍可使杠杆恢复水平平衡。 (3)如图乙所示，用核桃夹夹核桃时，核桃夹是一种 杠杆。 4．（2025·四川广元·中考真题）“天宫”学习小组“探究杠杆的平衡条件”实验装置如图甲所示，每个钩码重0.5N。 (1)调节杠杆在水平位置平衡，图乙为第一次实验的情景，则本次实验的动力臂是 cm； (2)他们的三次实验数据如下表，分析可知，杠杆的平衡条件是 ；（用F1、F2、l1、l2表示） 次数 动力F1/N 动力臂l1/cm 阻力F2/N 阻力臂l2/cm 1 1.0 0.5 20.0 2 2.0 15.0 3.0 10.0 3 3.0 5.0 1.0 15.0 (3)如图丙所示，人的手臂是一根杠杆，由杠杆平衡条件可知，手臂是一根 杠杆。（选填“省力”、“费力”或“等臂”） 5．（2025·天津·中考真题）图为汽车刹车装置的部分结构示意图。驾驶员踩下踏板，连着踏板的金属杆绕O点转动，推动活塞挤压刹车油，此时可把金属杆看成以O为支点的杠杆。不计金属杆自重及摩擦，请解答下列问题： (1)图中画出了杠杆的动力F1和阻力F2，其中正确的是 图； (2)若动力F1为300N，动力臂与阻力臂之比为5∶1，求阻力F2的大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 探究：杠杆的平衡条件 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 杠杆 1 题型2 杠杆的平衡条件 4 题型3 生活中的杠杆 4 【能力培优练】 9 【链接中考】 34 【重难题型讲解】 题型1 杠杆 1.杠杆的概念：在力的作用下，能绕固定点转动的硬棒，叫做杠杆。 2.杠杆的五要素 用木棍撬石头，撬棍就是杠杆，杠杆是一种常用的简单机械，由五个要素组成: （1）支点：杠杆绕着转动的固定点。 （2）动力：使杠杆转动的力。 （3）阻力：阻碍杠杆转动的力。 （4）动力臂：支点到动力作用线的距离。 （5）阻力臂：支点到阻力作用线的距离。 点拨 对杠杆的理解： （1）作为杠杆的物体可以是直的，也可以是弯的。即杠杆可以是各种各样的形状。 （2）支点一定在杠杆上，动力和阻力可以在支点两侧，也可在支点同侧。作用在杠杆上的动力和阻力是相对而言的，动力和阻力使杠杆转动的方向一定是相反的，但动力和阻力的方向不一定相反。 （3）力臂不一定在杠杆上，当力的作用线不垂直于杠杆时，力臂与杠杆不重合。力臂包含了力的作用点和力的方向两个要素。 3.力臂的画法: （1）一找点：先确定杠杆的支点和动力、阻力的方向。 （2）二画线：画出动力和阻力的作用线，必要时用虚线将力的作用线延长。 （3）三作垂线段：从支点向作用线作垂线，垂线段即为动力臂或阻力臂。 （4）四用括号来体现：最后用大括号或箭头勾出力臂，并在旁边写上字母或。 【典例1-1】如图所示是我国古代运送巨木的劳动情景示意图。 他们通过横杆、支架、石块等，将巨木的一端抬起，垫上圆木，以便将其移动到其他地方。关于此情景中涉及物理知识应用说法正确的是（　　） A．此情景中的横杆是费力杠杆 B．使用横杆抬起巨木，目的是省距离 C．向巨木方向调整支架的位置可以更省力 D．只将巨木一端抬起的过程中，巨木不能看作一个杠杆 【答案】C 【详解】A．由图可知，横杆在使用的过程中，动力臂大于阻力臂，为省力杠杆，故A错误； B．由图可知，横杆在使用的过程中，动力臂大于阻力臂，为省力杠杆，可以省力，但费距离，故B错误； C．向巨木方向调整支架的位置，可以改变动力臂的长度，使得动力臂比阻力臂更大，那么更省力，故C正确； D．只将巨木一端抬起的过程中，巨木可看作一根绕固定点转动的硬棒，符合杠杆的特点，可看作一个杠杆，故D错误。 故选C。 【典例1-2】如图所示是一种外型新颖的手动榨汁器。在A处用力下压手柄，容器中的水果受到挤压，可快速榨出果汁。此时，榨汁器手柄的杠杆模型是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】使用榨汁器时，在A处用力下压手柄，手柄绕C点转动，则C点为支点，手对A点向下的压力为动力，手柄B处受到向上的力为阻力，故A符合题意，BCD不符合题意。 故选A。 跟踪训练1如图是搬运泥土的独轮车，使用时可视为杠杆。车和泥土的总重，从A点提起独轮车把手的力是F。独轮车抬起过程中，下列说法正确的是（    ） A．独轮车的重心是支点 B．独轮车属于费力杠杆 C．抬运泥土时，F的力臂是1.6m D．F的大小至少是200N 【答案】D 【详解】A．独轮车的支点是车轮的轴，故A错误； B．独轮车工作时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故B错误； C．抬运泥土时，F的力臂是1.6m+0.4m=2m，故C错误； D．根据杠杆平衡条件得，动力大小至少为 故D正确。 故选D。 跟踪训练2图甲为某停车场入口处的车闸杆。图乙为此车闸杠杆示意图，为质量分布均匀的闸杆的支点，闸杆的重力为60N，长度为3.6m，到支点的距离为0.6m。下列说法正确的是（　　） A．适当减小的间距，就可减小端升起闸杆的动力 B．要将闸杆升起（忽略摩擦），至少需在端施加的力为120N C．升起闸杆时，若施加在端的力为动力，此时闸杆是省力杠杆 D．升起闸杆时，在同一竖直面内沿方向施力比沿方向施力更省力 【答案】B 【详解】A．根据杠杆平衡条件，适当减小的间距，即动力臂减小，在阻力和阻力臂不变时，动力会增大，故A错误； B．闸杆重力，闸杆质量分布均匀，则重力的力臂 当在端施加垂直于向下的力时，动力臂最大为。根据杠杆平衡条件，可得 即至少需在端施加120N的力，故B正确； C．动力臂最大为，阻力臂为，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆，故C错误； D．在同一竖直面内沿方向施力时，动力臂小于沿方向施力的动力臂（方向动力臂为），根据杠杆平衡条件，动力臂越小，动力越大，所以沿方向施力更费力，故D错误。 故选B。 题型2 杠杆的平衡条件 1．杠杆平衡状态：杠杆静止或匀速转动（可以倾斜平衡）。 提出问题：杠杆在满足什么条件时才会平衡？ 2.实验探究 （1）提出问题：动力、动力臂与阻力、阻力臂之间满足怎样的关系时，杠杆能够平衡？ （2）猜想与假设： （3）设计实验和进行实验 （4）使用的器材：弹簧测力计、钩码、带刻度的杠杆、铁架台。 （5）进行实验与收集证据： ①调节平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡。 ②在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节位置，使杠杆重新平衡。（此时可以调平衡螺母吗？不能） ③把支点左边的钩码重当作动力，支点右边的钩码重当作阻力，读出动力臂和阻力臂，将各数值填入表格中。 实验次数 动力/N 动力臂/cm 动力×动力臂 阻力/N 阻力臂/cm 阻力×阻力臂 （6）结论：动力×动力臂=阻力×阻力臂 。即： 3.交流讨论 （1）改变钩码的个数和钩码的位置进行多次实验的目的：避免实验出现偶然性，得出普遍适用规律。 （2）挂钩码前，如何调节平衡螺母？调节杠杆两端的螺母，哪边高向哪边调使杠杆在水平位置平衡。 （3）实验前，为什么将杠杆的中点作为支点并调节水平平衡？避免杠杆自身重力对实验的影响。 （4）实验时，为什么要使杠杆在水平位置平衡？便于测量力臂。 （5）若用弹簧测力计代替钩码，①应当沿竖直方向拉测力计，其原因是便于读出力臂数值；②当斜拉测力计时，测力计读数会偏大；③测力计由1到2再到3时，拉力大小变化是先变小，后变大；其目的是改变力的方向。 【典例2-1】“探究杠杆的平衡条件”实验中，杠杆在水平位置平衡，如图所示。下列操作能使杠杆在水平位置保持平衡的是（　　） A．同时将左右两侧的钩码取下一个 B．将、两处所挂的钩码交换位置 C．将右侧钩码取下一个，左侧钩码向支点移动一格 D．将左侧钩码向支点移动两格，右侧钩码向支点移动三格 【答案】D 【详解】A．设每个钩码重为G，杠杆上的每个小格长度为L，当同时将左右两侧的钩码取下一个时，杠杆两侧力与力臂的乘积关系为 不符合杠杆平衡条件，故A不符合题意； B．当将、两处所挂的钩码交换位置时，杠杆两侧力与力臂的乘积关系为 不符合杠杆平衡条件，故B不符合题意； C．将右侧钩码取下一个，左侧钩码向支点移动一格时，杠杆两侧力与力臂的乘积关系为 不符合杠杆平衡条件，故C不符合题意； D．将左侧钩码向支点移动两格，右侧钩码向支点移动三格时，杠杆两侧力与力臂的乘积关系为 符合杠杆平衡条件，故D符合题意。 故选D。 【典例2-2】17．根据“探究杠杆的平衡条件”实验要求，完成下列各题： (1)实验开始时，杠杆的位置如图1所示，杠杆此时处于 （选填“平衡”或“非平衡”）状态。需将平衡螺母向 （选填“左”或“右”）移动，才能使杠杆在水平位置平衡，这样调节的目的是 。 (2)要使图2中杠杆平衡，应在A处竖直向上施加 N的拉力（题中的每个钩码重力0.5N）。当弹簧测力计由竖直地拉着变成倾斜地拉着，使杠杆在水平位置静止时，弹簧测力计的示数将 （选填“变大”、“不变”或“变小”）；请你在图2等效图中画出此时弹簧测力计拉力的力臂 。 (3)有同学根据自己的实验数据，得到如下结论：动力×支点到动力作用点的距离=阻力×支点到阻力作用点的距离。这个结论与杠杆的平衡条件不符，原因是实验过程中没有 （选填序号：①改变力的大小、②改变力的方向、③改变力的作用点）。 【答案】(1) 平衡 右 见解析 (2) 0.5 变大 (3)② 【详解】（1）[1][2][3]杠杆处于静止状态或匀速转动状态都为杠杆的平衡状态；如图1所示，杠杆静止，此时杠杆处于平衡状态；杠杆左端下沉，其右端偏高，应将平衡螺母向上翘的右端移动，使杠杆在水平位置平衡，此时杠杆的重心和支点在同一竖直线上，可以消除杠杆自重对实验的影响，力臂在杠杆上，便于测量力臂。 （2）[1]设杠杆的一格长为L，一个钩码的重为G，根据杠杆平衡条件得到2G×2L=F×4L 解得F=G=0.5N [2]当弹簧测力计由竖直地拉着变成倾斜地拉着，阻力和阻力臂不变，弹簧测力计拉力F的力臂变小，由杠杆平衡条件可知弹簧测力计的拉力变大。 [3]画出弹簧测力计拉力的作用线，然后过O点向拉力的作用线做垂线，该垂线段即为拉力的力臂，如下图： （3）“动力×支点到动力作用点的距离=阻力×支点到阻力作用点的距离”，是在杠杆在水平位置平衡且动力和阻力的方向都是竖直向下的条件下得出的，也就是实验过程中没有改变动力或阻力的方向，故②正确。 跟踪训练1如图所示，关于“杠杆平衡条件”实验的相关说法正确的是（　　） A．加减钩码进行实验过程中，还可以调节平衡螺母 B．在两侧的钩码下同时各添加一个相同的钩码，杠杆依然水平平衡 C．该实验可得出结论：当阻力和阻力臂乘积一定时，动力臂大，动力就大 D．多次实验是为了得到普遍规律 【答案】D 【详解】A．加减钩码进行实验过程中，不能调节平衡螺母，否则开始调的杠杆平衡被打破，故A错误； B．设一个钩码的重力为G，杠杆上一个格的长度为L，在两侧的钩码下同时各添加一个相同的钩码，则有 3G×3L>4G×2L 左侧力与力臂的乘积大，杠杆不平衡，故B错误； C．杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂。当阻力和阻力臂乘积一定时，动力臂大，动力就小，故C错误； D．探究“杠杆平衡条件”实验中，多次实验是为了得到普遍规律，故D正确。 故选D。 跟踪训练2如图是小华同学用于“探究杠杆的平衡条件”的实验装置。 ① 1 10 2 5 ② 2 10 4 5 ③ 3 4 2 6 (1)实验前杠杆静止如图甲，此时杠杆 （选填“平衡”或“不平衡”），应将平衡螺母向 （选填“左”或“右”）调节使杠杆在水平位置平衡，目的是：更方便测量 （选填“力”或“力臂”）。 (2)在杠杆调节到水平位置平衡后，利用钩码和刻度尺测量出杠杆平衡时各个力及其力臂，实验数据如上表表格设计的错误是： ，多次实验的目的是： （选填“减小误差”或“找正确规律”）。最终得到杠杆的平衡条件是：动力与动力臂的乘积等于阻力与阻力臂的乘积。 (3)如图乙，由杠杆的平衡条件可知杠杆的 （选填“左”或“右”）端会下沉；要使杠杆重新在水平位置平衡，在不改变两侧钩码各自数量的前提下，仅需把左侧钩码向右移动 格； 【答案】(1) 平衡 右 力臂 (2) 表格中未明确区分动力和阻力 找正确规律 (3) 左 1 【详解】（1）[1]杠杆的平衡状态是指杠杆处于静止或匀速转动状态，所以图甲中静止的杠杆处于平衡状态。 [2][3]图甲中，杠杆向左倾斜，所以向右调节平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡，这样操作的目的是：便于测量力臂。 （2）[1]在探究杠杆平衡条件的实验中，表格中应标明动力F1，动力臂L1，阻力F2，阻力臂L2，便于分析数据得出杠杆平衡条件，而题目所给表格中未明确区分动力和阻力，这是表格设计的错误。 [2]在这个实验中，多次实验并不是为了减小某一个物理量的测量误差，而是通过多次测量不同的力和力臂的组合，从众多实验数据中总结出普遍适用的杠杆平衡条件，也就是找正确规律。 （3）[1]设杠杆每个格的长度为，每个钩码的重力为，则杠杆两端的力与力臂的乘积 故杠杆左端下沉。[2]要使杠杆重新在水平位置平衡，在不改变两侧钩码各自数量的前提下，只需要将左侧的钩码靠近支点，即向右移动一个格，则有 则杠杆在水平位置平衡。 题型3 生活中的杠杆 1.省力杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂大于阻力臂，平衡时动力小于阻力（）。省力但是费距离。 （3）常见的省力杠杆：瓶盖起子、羊角锤起钉子、独轮车、钳子等。 2.费力杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂小于阻力臂，平衡时动力大于阻力（）。费力省距离。 （3）常见的费力杠杆：镊子、缝纫机脚踏板、钓鱼竿、筷子夹菜、皮划艇的桨、扫帚扫地等。 3.等臂杠杆 （1）示意图：如图所示 （2）特点：动力臂等于阻力臂，平衡时动力等于阻力。这样的杠杆既不省力也不费力（）。 （3）常见的等臂杠杆：天平、定滑轮。 点拨 判断生活中的杠杆种类 先找到支点、动力和阻力作用点，粗略判断动力臂和阻力臂的大小。 【典例3-1】2024年9月，中国队在亚洲青年赛艇锦标赛20个比赛项目中斩获13枚金牌，为祖国赢得荣誉。如图所示，赛艇的桨可视为杠杆，下列工具正常使用时，与桨属于同类杠杆的是（   ） A．筷子 B．瓶起子 C．核桃夹 D．羊角锤 【答案】A 【详解】赛艇的桨在使用时，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。 A．使用筷子时，支点在筷子与手的虎口接触处，食物对筷子的阻力作用点在筷子的前端，手对筷子的动力作用点在筷子的后端，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故A符合题意； B．瓶起子在使用时，动力作用在瓶起子的手柄上，阻力作用在瓶盖与瓶口的连接处，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故B不符合题意； C．核桃夹在使用时，动力作用在核桃夹的手柄上，阻力作用在夹核桃的部位，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故C不符合题意； D．羊角锤在撬钉子时，支点在羊角锤与地面的接触点，动力作用在羊角锤的手柄上，阻力作用在钉子上，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故D不符合题意。 故选A。 【典例3-2】如图所示，这是用来夹核桃的核桃夹，核桃夹是（　　） A．省力杠杆，且省距离 B．费力杠杆，但省距离 C．省力杠杆，但费距离 D．等臂杠杆，既不省力也不费力 【答案】C 【详解】核桃夹在使用过程中，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，省力费距离，故ABD不符合题意，C符合题意。 故选C。 跟踪训练1《天工开物》是明代宋应星的科技巨著，它系统记载的农工技艺，为后世提供了人与自然和谐共生的智慧。《天工开物·乃粒》记载了古人用“耒耜”耕地的场景，如下图所示。为了更容易开垦硬土壤，下列做法最合理的是（　　） A．给耒耜安装更宽大的脚踏板 B．将耒耜的手柄加长 C．在耒耜上加绑更多的物体 D．把耒耜的刃口磨得更锋利 【答案】D 【详解】A．给耒耜安装更宽大的脚踏板可以增加脚踏部分的面积，从而减小脚受到的压强，不能增大刀刃口受到的力，不能直接提高未耜对硬土壤的切割能力，故A不符合题意； B．将耒耜的可以改变力臂的长度，能在一定程度上改变人扶犁力的大小，对直接提高未耜对硬土壤的切割能力没有直接的关联，故B不符合题意； C．在耒耜上加绑更多的物体可能会增加未耜的重力和稳定性，不能直接提高耒耜对硬土壤的切割能力，故C不符合题意； D．把耒耜的刃口磨得更锋利可以减小刀口的受力面积，增大刀口对地面的压强，对于开垦硬土壤非常有效，故D符合题意。 故选D。 跟踪训练2防烫夹常用于从蒸锅中取出盛有食物的盘子，使用时根据盘子大小可以调节夹子张开角度。图是使用防烫夹取出盘子的情境，将防烫夹视为杠杆，下列说法正确的是（　　） A．C点是支点 B．食物和盘子的总重力为阻力 C．使用时是省力杠杆 D．使用时省距离 【答案】D 【详解】A．防烫夹在使用时，A点是固定不动的转动点，应为支点，C点为阻力作用点而非支点，故A错误； B．将防烫夹视为杠杆时，手对夹子向里的力为动力，阻力是盘子对夹子向外的力，作用点在C处，所以食物和盘子的总重力不是阻力，故B错误； CD．从图中可以看出，A点为支点，则动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，费力杠杆在使用时省距离，故C错误，D正确。 故选D。 【能力培优练】 1．如图是《天工开物》中记载的踏碓（duì）舂米的情景。踏碓被架在木杠上，可以绕着固定点转动，踏碓的前端装有圆锥状石块，用脚反复向下踩踏和松开碓后端，就可以舂米。关于该脚踏碓说法正确的是（　　） A．被踩起的踏碓属于费力杠杆 B．舂米时该装置可以省功 C．圆锥状的石块为了增大舂米时的压力 D．碓从高处落下的过程中机械能变大 【答案】A 【详解】A．用脚踏碓舂米过程中，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故A正确； B．使用脚踏碓这种杠杆要费力，可以省距离，但不能省功，因为使用任何机械都不可避免要做额外功，故B错误； C．圆锥状的石块为了减小受力面积，增大压强，但压力不变，故C错误； D．碓从高处落下的过程中，要克服摩擦阻力做功，有少部分机械能转化为内能，机械能减小，故D错误。 故选A。 2．如图所示是我们熟悉的自行车，则下列关于车及车头组件的说法中正确的是（　　） A．车轮中的滚动轴承是为了增大摩擦力 B．刹车闸是通过增大压力的方法来增大摩擦力 C．车龙头是一个费力的轮轴 D．停放在路面的自行车受到的重力和自行车对地面的压力是一对平衡力 【答案】B 【详解】A．用滚动替代滑动可以减小摩擦力，车轮中的滚动轴承是为了减小摩擦力，故A错误； B．刹车闸是在接触面粗糙程度一定时，通过增大压力的方法来增大摩擦力，故B正确； C．轮轴工作时遵循“大轮小轴”，轮省力，轴费力。车龙头属于轮，是一个省力的轮轴，故C错误； D．停放在路面的自行车受到的重力和自行车对地面的压力作用在两个物体上，方向相同，不是一对平衡力，故D错误。 故选B。 3．如图所示是使用镊子夹物品的情景，此时的镊子（　　） A．是一个省力杠杆 B．是一个费力杠杆 C．是一个等臂杠杆 D．无法确定是哪种类型的杠杆 【答案】B 【详解】由图示知，镊子的最顶端为支点，手对镊子的作用力为动力，物品对镊子的作用力为阻力，则动力臂小于阻力臂，是费力杠杆，故ACD不符合题意，B符合题意。 故选B。 4．水龙头手柄可视为下图所示的杠杆，O为支点，F为阻力，分别用力沿a、b、c、d方向都可以关闭水龙头，则用力最小时的方向是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【详解】根据杠杆平衡条件，当阻力和阻力臂一定时，动力臂越大，动力越小，越省力。所以在A点施加动力，要使关闭水龙头时用力最小，就要使动力臂最大。在A点施加动力，当动力的方向与支点和力的作用点的连线垂直时，动力臂最大，此时最省力，即沿b方向用动力最小。故ACD不符合题意，B符合题意。 故选B。 5．如图所示，是一种铡刀切甘蔗时的示意图，下列说法正确的是（　　） A．铡刀实质上是一种费力杠杆 B．手沿F2方向用力比沿F1方向时更省力 C．把甘蔗放在b点比放在a点更容易切断 D．切断甘蔗时，使用铡刀的手下压距离小于甘蔗的直径 【答案】B 【详解】AD．铡刀在使用时动力臂大于阻力臂，所以铡刀实质上是一种省力杠杆，省力杠杆费距离，所以切断甘蔗时，使用铡刀的手下压距离大于甘蔗的直径，故AD错误； B．由图知，手沿F2方向用力比沿F1方向用力时的动力臂要大，而阻力、阻力臂一定，根据杠杆平衡条件可知，沿F2方向用力动力更小，即更省力，故B正确。 C．由图知，甘蔗放在b点比a点时的阻力臂更大，而甘蔗对铡刀的阻力一定，此时动力臂一定，根据杠杆的平衡条件可知，动力会更大，会更不容易切断，故C错误。 故选B。 6．在下列所述的简单机械中，使用时属于费力杠杆的是（    ） A．用钢丝钳剪铁丝 B．用筷子夹食物 C．修枝剪刀 D．开瓶器开瓶盖 【答案】B 【详解】A．如图，手给钢丝钳施力的位置到支点的距离是动力臂，夹钢丝的位置到支点的距离是阻力臂，明显动力臂大于阻力臂，所以钢丝钳是省力杠杆，故A不符合题意； B．如图，筷子绕着手指根转动，施力的手指到支点的距离是动力臂，筷子下端夹菜的位置到支点的距离是阻力臂，很明显阻力臂大于动力臂，所以筷子是费力杠杆，故B符合题意； C．如图，剪刀把手施力处到支点距离大于剪刀刀口中间位置到支点距离，即是动力臂大于阻力臂，所以修枝的剪刀是省力杠杆，故C不符合题意； D．如图，开瓶器压在瓶盖的一端是支点，握手的位置到支点的距离是动力臂，提瓶盖的位置到支点的距离是阻力臂，明显动力臂大于阻力臂，所以开瓶器是省力杠杆，故D不符合题意。 故选B。 7．如图所示，O是支点，在B端挂一重物，为使杠杆在水平平衡，要在A端施加一个拉力，下列说法正确的是（　　） A．最小 B．最小 C．最小 D．最小 【答案】B 【详解】分别画出图中各力的力臂，如图所示， O是支点，在B端挂一重物，阻力和阻力臂一定，动力和动力臂成反比，由图可知，力F2和F4的力臂最长，但为使杠杆在水平平衡，力的方向应向下。 故选B。 8．初夏到来，柳叶湖旅游度假区水上运动项目风生水起。如图，在柳叶湖训练的运动员手中的桨可视为杠杆，下列工具正常使用时，与桨属于同类杠杆的是（　　） A．拧螺丝时使用的扳手 B．剪铁丝时使用的钢丝钳 C．钓鱼时使用的鱼竿 D．修剪树枝时使用的园艺剪 【答案】C 【详解】如图，用运动员手中的船桨划水时，动力臂小于阻力臂，船桨是费力杠杆； A．拧螺丝时使用的扳手，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，故A不符合题意；     B．剪铁丝时使用的钢丝钳，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，故B不符合题意； C．钓鱼时使用的鱼竿，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆，故C符合题意； D．修剪树枝时使用的园艺剪, 动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，故D不符合题意。 故选C。 9．《墨经》最早记述了秤的杠杆原理。如图中“标”“本”表示力臂，“权”“重”表示力。以下说法正确的是（　　） A．“权”小于“重”时，A端一定上扬 B．“权”小于“重”时，若要使杠杆水平平衡，“标”一定大于“本” C．增大“重”时，若要使杠杆水平平衡，应把“权”向靠近提纽方向移动 D．若使用有缺损的“权”来称“重”，测量结果会偏小 【答案】B 【详解】A．“权”小于“重”时，“本”确定，但“标”是可以改变的，所以A端不一定上扬，故A错误； B．“权”小于“重”时，由“权×标=重×本”可知，若要使杠杆水平平衡，“标”一定大于“本”，故B正确； C．由“权×标=重×本”可知，增大“重”时，“标”会增大，应把“权”远离提纽，故C错误； D．若使用有缺损的“权”来称“重”时，由“权×标=重×本”可知，“权”变小，“重×本”不变，则“标”增大，即测量结果会偏大，故D错误。 故选B。 10．如图轻杆，为支点，物重为30N，，在竖直向上的拉力作用下始终保持平衡状态。下列说法正确的（　　）   A．该杠杆与镊子类型相同 B．图甲位置时，拉力大小为15N C．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力不变 D．图甲位置时，拉力与物重之比为 【答案】C 【详解】A．该杠杆动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，镊子是费力杠杆，故与镊子类型不相同，故A错误； B．图甲位置时，拉力大小为 故B错误； C．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，阻力臂与动力臂的比值 始终保持不变，故拉力与物重之比不变，重力不变，故拉力的大小不变，故C正确； D．图甲位置时，拉力与物重之比为 故D不符合题意。 故选C。 11．如图所示，赛艇的船桨是一种杠杆，以O为支点，手握A点只要移动较小的距离，就能使桨板在水中移动较大的距离，则该杠杆（       ） A．省力，省距离 B．费力，费距离 C．省力，费距离 D．费力，省距离 【答案】D 【详解】由桨的结构可知，支点在O点，动力作用在A点，水对船桨的阻力作用在桨板上，桨在使用的过程中，动力臂小于阻力臂，根据杠杆平衡条件可知，动力大于阻力，属于费力杠杆，费力省距离，故ABC不符合题意，D符合题意。 故选D。 12．骨骼、肌肉和关节等构成了人体的运动系统，人体中最基本的运动大多是由肌肉牵引骨骼绕关节转动产生的。从物理学的视角看，可以认为是杠杆在工作。下列关于人体中的杠杆说法正确的是（　　） A．图甲：手托重物时，可视为省力杠杆 B．图甲：该杠杆的动力为肱二头肌对前臂的牵引力，阻力为重物所受的重力 C．图乙：踮脚时，可视为费力杠杆 D．图乙：向上踮脚的过程中，腓肠肌的收缩距离大于足部骨骼的移动距离 【答案】D 【详解】AB．图甲中，手托重物时，O为支点，重物对手的压力为阻力，阻力F2等于重物受到的重力的大小，肱二头肌对前臂的牵引力为动力，所以动力臂小于阻力臂，为费力杠杆，故AB错误； CD．图乙中，踮脚时，O为支点，阻力F2可看成作用在足部骨骼处，腓肠肌的拉力F1为动力，动力臂大于阻力臂，为省力杠杆，费距离，腓肠肌的收缩距离大于足部骨骼的移动距离，故C错误，D正确。 故选D。 13．如图甲所示是《天工开物》里记载的一种捣谷的踏碓，“横木穿插碓头，碓嘴为铁，足踏其末而舂之”。若碓头的质量为18kg，AO︰BO=5︰3，捣谷人双手与扶手之间的作用力为零。下列说法正确的是（　　） A．图中所示的踏碓是省力杠杆 B．人右脚用力踩B的力越大，左脚对地面压力越大 C．支点O距离B端比距离A端更近是为了省距离 D．A端下落0.5m，碓头重力做功为54J 【答案】C 【详解】A．由图乙可知该杠杆的动力臂小于阻力臂，所以图中所示的踏碓是费力杠杆，故A错误。 B．因为力的作用是相互的，所以横木对右脚的支持力等于人右脚对横木的压力，人右脚用力越大，横木对右脚的支持力越大，以人为研究对象，根据力的平衡条件可得，由于人的重力不变，则左脚受到地面的支持力越小，左脚对地面压力等于左脚受到的支持力，所以人右脚用力越大，左脚对地面压力越小，故B错误。 C．费力杠杆省距离，所以支点O距离B端比距离A端更近是为了省距离，故C正确。 D．碓头的重力为 碓头竖直下落时重力做的功为，故D错误。 故选C。 14．“秤人”是立夏节风俗，流行于江南地区，每逢此节，家家用大秤秤人，如图1所示，至立秋日，又秤一次，以观察夏季体重的变化，希望孩子健康成长，如图2所示，小孩和篮子的总质量为20kg，调整秤砣的位置，使杆秤处于水平平衡状态（忽略绳重和杆重），此时，。下列说法正确的是（　　） A．该秤砣的质量为4kg B．篮子里换一个更重的孩子，应将秤砣向左移动 C．若换更轻的秤砣，可以增大该杆秤的量程 D．要使该杆秤的量程变大，可以将秤的悬挂点O左移一些 【答案】D 【详解】A．作用在杠杆A点的力为杠杆的阻力 作用在B点的力为动力，根据杠可得该秤砣的重力为 秤砣的质量为x 故A错误； B．换一个体重较大的孩子，秤砣和篮子等都不变，则作用在杠杆A点的力变大，动力臂不变，作用在杠杆B点的力不变，根据杠杆平衡条件可知阻力臂会变大，所以调到水平平衡后秤砣的悬挂点应在B点右边，故B错误； C．由杠杆平衡条件可得即要使该杆秤的量程变大，应该换用质量更大的秤砣，故C错误； D．由图示可知，悬挂点O左移，秤砣的力臂变大，物体的力臂变小，由可知，篮子里物体的最大称量量变大，故D正确。 故选D。 15．如图所示，有一根均匀铁棒，长为，，重力，为了不使这根铁棒的端下沉，所需外力至少应为 N。 【答案】 【详解】铁棒的B端下沉，会绕着A点转动，即A点为杠杆的支点，阻力为杠杆受到的重力，阻力臂为OA，为了不使这根铁棒的B端下沉，在B端施加竖直向上的动力，此时动力臂最长，为AB，根据数学知识可知，,根据杠杆平衡条件可知，动力最小，所需外力至少应为 16．2025年是国家卫生健康委启动“体重管理三年行动”的开局之年，肥胖防控被提升至全民健康的战略高度。做俯卧撑能锻炼上肢、腰部及腹部的肌肉。如图所示，小明做俯卧撑时可视为一个杠杆，其重心在A处，手掌作用在地面B处，已知小明体重600N。则动力臂为 m，两只手掌对地面的压力为 N。 【答案】 1.5 400 【详解】[1]做俯卧撑时，地面对两只手掌的支持力为动力，脚尖与地面的接触点为支点，则动力臂 [2]小明的体重对杠杆的拉力为阻力，根据杠杆平衡条件可知可得，动力为两只手掌对地面的压力和支持力是相互作用力，大小相等，所以两只手掌对地面的压力是400N。 17．我国古人运送巨木的劳动情境如图所示。他们通过横杆、支架、石块等，将巨木的一端抬起，垫上圆木，以便将其移到其他地方。垫上圆木的作用是减小 ，支架下方垫上一块面积大的石块的作用是通过增大受力面积，减小 ，利用横杆将巨木抬起时，横杆相当于 杠杆（选填“省力”或“费力”）。 【答案】 摩擦 压强 省力 【详解】[1]移动巨木时在下面垫上圆木，这是变滑动为滚动，是为了减小摩擦。 [2]支架下垫有石块，增大了支架的受力面积，根据压强公式可知，在压力一定时，增大受力面积，可以减小压强。[3]结合图片可知，利用横杆将巨木抬起时，横杆相当于杠杆，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆 18．如图甲所示为赛艇运动员划桨时的情景，划桨时桨绕固定轴转动。 (1)使赛艇前进的力是 （填“运动员”或“水”）施加的； (2)赛艇的桨是一个省 （填“力”或“距离”）杠杆； (3)如图乙为划桨时桨的简化平面图，其中O为固定轴，AO长0.8m，AC长2.8m，B点为AO的中点，F2为水对桨的作用力，大小为200N。运动员在训练中会自然“保持力的高效传递”（即达到相同效果时更省力），则运动员在此刻施加的最小力为 N，并在乙图中画出这个力的示意图。（计算结果有根号保留根号） 【答案】(1)水(2)距离(3)， 【详解】（1）运动员划桨时，桨对水有向后的力，根据力的作用是相互的，水会对桨产生向前的力，使赛艇前进。 （2）赛艇的桨，支点为 O，动力作用在桨柄，远离支点端 ，阻力是水对桨的力，靠近支点端，动力臂 小于 阻力臂，所以是费力杠杆，特点是费力但省距离。 （3）阻力，阻力臂是O到作用线的垂直距离。由几何关系， 阻力臂 要使力最小，需让动力臂最长，最长动力臂是当力作用在A点且方向与OA垂直时的力臂，则动力臂，由杠杆平衡条件得运动员在此刻施加的最小力为 如下图所示： 19．一块厚度、密度均匀的长方形地板砖放在水平地面上，装修师傅用一个竖直向上的力，用如图所示甲、乙两种方式，使其一端抬离地面。则F甲 F乙（选填“>”“=”或“<”）。 【答案】= 【详解】在上述两种情况下，动力克服的都是长方形地板砖的重力，对于形状规则质地均匀的物体，其重心都在其几何中心上，两次抬起长方形地板砖时的情况如下图所示： ， 由图可知动力臂都是阻力臂的2倍，根据杠杆平衡条件FL动=GL阻，则，所以前后两次所用的力相同，即F甲=F乙 20．如图1所示，甲、乙两同学用长1.6m粗细均匀的轻质木杆抬水。水和水桶总重为300N，水桶挂在视为水平木杆的A处且距离甲同学的肩膀（B处）为1.0m，则甲同学抬水时所用力的大小为 N。（不计木杆重力，两位同学各自对木杆的力的作用点之间距离近似认为是1.6m且可将轻质木杆看成如图2所示的杠杆）                   图1                                       图2 【答案】112.5 【详解】由图2可知，支点在C位置，根据杠杆平衡条件可知 代入数据可得 解得F甲=112.5N。 21．如图所示，这是我国古代的“舂米石臼”的简化示意图，人用力踩下A端，使B端的重锤翘起，收脚后，重锤由于受到重力作用下落，打在石臼内的谷物上，帮谷物脱壳。此装置属于 （选填“省力”或“费力”）杠杆。请举出一个生活中应用同类型杠杆的实例： 。 【答案】 费力 钓鱼竿 【详解】[1]如图所示，在B端所受石锥的重力为阻力，脚施加的力为动力，则有动力臂小于阻力臂，所以此装置属于费力杠杆。 [2]在生活中常见的费力杠杆的实例有：钓鱼竿、筷子、船桨、理发用的剪刀等。 22．如图甲所示，赛龙舟是中国端午节习俗之一、图乙是运动员划船桨示意图，OA=0.6m，AB=0.4m，运动员一只手在船桨上端O点，另一只手对船桨A处的拉力F1=500N，水对该船桨的推力F2 = N。为获得更大的推力，A点应 （选填“靠近”或“远离”）O点一些。 【答案】 300 远离 【详解】[1]船桨可视为杠杆，支点为O，动力为，动力臂；阻力为水的推力，阻力臂 根据杠杆平衡条件，代入数据得： [2]根据杠杆平衡条件，在和不变时，增大动力臂可使阻力增大。若A点远离O点，动力臂会变长，因此能获得更大的推力。 23．如图所示，手推车需要向右经过障碍物A．若竖直向上抬扶把，这时手推车可以视为杠杆，请作出动力和动力臂。 【答案】 【详解】根据题意可知，人竖直向上抬扶把，则人对扶把的力竖直向上，即动力竖直向上，力的作用点在扶把上，向上抬起手推车的过程，手推车绕前轮旋转，故支点为前轮轮轴处，则将反向延长，作其力的作用线，再由前轮轮轴处作该作用线的垂线段，即可得到动力臂，如图所示： 24．如图甲所示，是古代的取水工具——桔槔，可以简化为图乙所示的杠杆模型。请在图乙中画出动力F1的力臂l1，并在A点画出阻力F2的示意图。 【答案】 【详解】过支点O作力作用线的垂线段，即为力的力臂；从阻力的作用点A沿阻力的方向竖直向下作出阻力的示意图，如图所示： 25．图甲所示是某实验小组探究“杠杆的平衡条件”的实验装置。 (1)挂钩码前，杠杆在图甲所示的位置静止，此时杠杆处于 （选填“平衡”或“非平衡”）状态；要想使杠杆在水平位置平衡，接下来应将杠杆右端的螺母向 （选填“左”或“右”）侧调节； (2)图乙所示是一个平衡的杠杆，如果在杠杆两侧挂钩码处各加一个相同的钩码，杠杆将 （选填“保持平衡”“顺时针转动”或“逆时针转动”）； (3)某同学提出，若支点不在杠杆的中点，杠杆的平衡条件是否仍然成立？于是该小组利用图丙所示的装置进行探究，以弹簧测力计的拉力为动力，钩码处绳子的拉力为阻力，多次改变动力作用点的位置进行实验发现：当杠杆水平平衡时，总是大于，其原因可能是 对杠杆平衡有影响； (4)为了进一步验证实验结论，某同学又做了图丁所示的实验，将弹簧测力计从a位置移动到c位置，在此过程中杠杆始终在水平位置平衡，则弹簧测力计示数的变化情况为 。下列实例中，与图丁中杠杆类型相同的是 （选填序号）。 A．钢丝钳    B．天平    C．瓶盖起子    D．钓鱼竿 【答案】(1) 平衡 左(2)顺时针转动(3)杠杆自身重力(4) 先变小后变大 D 【详解】（1）[1]杠杆的平衡状态是指静止状态或匀速转动状态，挂钩码前，杠杆在图甲所示位置静止，由于是静止状态，故此时杠杆达到平衡状态。 [2]从图甲可以看到，杠杆左端高，右端低，则右边较重，杠杆的重心在支点的右侧，要想使杠杆在水平位置平衡，接下来应将杠杆两端的平衡螺母向左调节。 （2）将图中乙的杠杆调节水平平衡后，在杠杆左右两边钩码下同时增加一个相同的钩码，设每个钩码重G，每小格长L，根据杠杆的平衡条件知，左边 右边 右边的乘积大于左边的乘积，杠杆右端下沉，左端上升，即沿顺时针方向转动。 （3）由图丙知道，支点在杠杆的左端，以弹簧测力计的拉力为动力F1，钩码处绳子拉力为阻力F2，因杠杆自身是受重力作用的，即杠杆的重力也是阻力（杠杆自重对杠杆平衡有影响），所以当杠杆水平平衡时，F1l1总是大于F2l2。 （4）[1]图丁所示的实验，将弹簧测力计从a位置移动到c位置，在此过程中杠杆始终在水平位置平衡，根据可知，在不变的情况下，，，所以，，即测力计示数的变化情况为：先变小后变大。 [2]由于图丁所示杠杆，，即动力臂小于阻力臂，为费力杠杆； A．钢丝钳为动力臂大于阻力臂的杠杆，为省力杠杆，故A不符合题意； B．天平为动力臂等于阻力臂的杠杆，为等臂杠杆，故B不符合题意； C．瓶盖起子为动力臂大于阻力臂的杠杆，为省力杠杆，故C不符合题意； D．钓鱼竿为动力臂小于阻力臂的杠杆，为费力杠杆，故D符合题意。 故选D。 26．杆秤是我国古代的一种度量衡工具，它承载着中华民族悠久的文化内涵。跨学科实践活动中，同学们在学习了杠杆知识后制作了简易杆秤。 任务一：选材组装 (1)如图所示，用长度约为40cm较光滑的长竹筷作为秤杆，用细线系一个20g的钩码作为秤砣，把空塑料盘挂在A点作为秤盘，在B点系一根绳作为提纽，则 点相当于支点； 任务二：标定刻度 (2)定盘星：秤盘不放物体时，提起提纽，调节秤砣细线位置使杆在 位置平衡，用记号笔标出秤砣细线在秤杆上的位置，该位置对应的刻度值为 g，即定盘星。此步骤抵消杆与盘的自重影响； (3)定星花：在秤盘中逐一添加50g的砝码，调节秤砣细线位置使秤杆水平平衡，标记细线在秤杆上的位置，再测量该标记线距离B点的长度（如表格所示）。根据数据规律，350g的刻度值标记应距离B点 cm； 托盘中砝码总质量/g 50 100 150 200 标记线距离B点的长度/cm 6 11 16 21 任务三：测试调整 (4)用刻度尺测出定盘星到提纽的距离1cm。将橡皮擦放入秤盘，调节秤砣使杆秤水平平衡，此时秤砣细线到提纽的距离为2.5cm，则这块橡皮擦质量为 g； 任务四：改进优化 (5)为增大杆秤的称量范围，可将提纽B适当向 （填“左”或“右”）调节。 【答案】(1)B(2) 水平 0(3)36(4)15(5)左 【详解】（1）由题意可知，利用该杆秤称量物体时，杆秤绕B点转动，则B点相当于支点。 （2）[1][2]秤盘不放物体时，提起提纽，调节秤砣位置使杆在水平位置平衡，既便于测量力臂，也能消除杠杆自重对平衡的影响，且该位置对应的刻度值为0g。 （3）根据表格数据可知，当托盘中砝码总质量为50g时，标记线距离B点的长度为6cm，则满足 带入数据为------① 当托盘中砝码总质量为100g时，标记线距离B点的长度为11cm，则满足 带入数据为------② 联立①②解得，，则当托盘中砝码总质量为350g时，满足 解得，即350g的刻度值标记应距离B点的长度为36cm。 （4）用刻度尺测出定盘星到提纽的距离1cm，根据杠杆平衡条件 解得 （5）为增大杆秤的称量范围，根据杠杆平衡条件可知，可以增大秤砣的质量，或者减小空小盆到提纽B点的距离，即提纽B适当向左移动。 27．拉杆箱为人们的旅途提供了极大的便捷。 (1)如图所示为一拉杆箱示意图，将其视为杠杆，为支点，拉杆箱所受重力，为，OC为。用力在点沿图示方向提起拉杆箱，则它属于 杠杆，为 N。 (2)使拉杆箱在图示位置静止的最小动力为 。生活中，常把箱内较重物品靠近点摆放，这样使拉杆箱在图示位置静止的最小动力将 （选填“变大”、“变小”或“不变”）。 (3)拉杆箱底部安装轮子除了 摩擦外，还通过 动力臂的方式使拉动更省力（以上两空选填“增大”或“减小”）。 【答案】(1) 省力 120(2) 60 变小(3) 减小 增大 【详解】（1）[1]由题意可知，O为支点，动力F与杆OA的夹角为30°，动力F的力臂为支点O到力F的延长线的距离，由于OA为120cm，根据含有30°直角三角形知识，可知动力臂L1的大小为OA的一半，则动力臂L1的大小为60cm。箱子重力为阻力，阻力臂为OC的长度，其大小为24cm。动力臂大于阻力臂，是省力杠杆。 [2]根据杠杆的平衡条件可得F×L1=G×OC，代入数据可得F×60cm=300N×24cm 解得F=120N，所以动力F的大小为120N。 （2）[1]从图中可以看到，支点为O，动力的作用点在A，使拉杆箱在图示位置静止的最小动力，那么动力臂应该最大，最大为支点O与作用点A连线的距离，从A作垂直于OA向上的力，即为最小力，如下图所示： 动力F的力臂为OA，动力为F，阻力为箱子重力300N，阻力臂OC为24cm，拉杆箱在图示位置静止，根据杠杆的平衡条件，可得F'×120cm=300N×24cm 解得F'=60N。 [2]生活中，常把箱内较重物品靠近O点摆放，这样阻力臂减小，阻力不变，动力臂不变，根据杠杆平衡条件可以判断，最小动力将变小。 （3）[1][2]拉杆箱底部安装轮子，用滚动代替滑动可以减小摩擦，根据杠杆平衡条件知，在阻力和阻力臂一定时，增大动力臂可以减小动力，即使拉动更省力。 【链接中考】 1．（2025·四川·中考真题）使用各种简单机械，可以使我们的工作和生活更省力、更方便。下列工具中属于省力杠杆的是（　　） A．筷子 B．托盘天平 C．钳子 D．镊子 【答案】C 【详解】A．在使用筷子时，支点在筷子的上端，动力作用点在筷子中部，阻力作用点在筷子的下端夹取物体的位置。此时，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故A不符合题意； B．托盘天平在使用过程中，动力臂等于阻力臂，它是等臂杠杆，故B不符合题意； C．使用钳子时，支点在钳子的转轴处，动力作用在钳子的手柄上，阻力作用在钳口处夹物体的位置。此时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故C符合题意； D．使用镊子时，支点在镊子的上端，动力作用点在镊子的中部，阻力作用点在镊子的下端夹取物体的位置。此时，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故D不符合题意。 故选C。 2．（2025·广东广州·中考真题）图a所示的斜拉桥，可逐步简化成图b、c、d的模型； (1)以O点为支点，在图d中作出的力臂 ； (2)为了减小钢索承受的拉力，可适当 （选填“升高”“降低”）钢索悬挂点在桥塔上的高度，理由是： 。 【答案】(1)(2) 升高 见解析 【详解】（1）力臂是支点到力的作用线的垂直距离；过O点作力F1的作用线的垂线，即为力F1的力臂，过O点作力F2的作用线的垂线，即为力F 2的力臂，如图所示： （2）[1][2]阻力不变，阻力臂不变，阻力与阻力臂的乘积不变，为了减小钢索承受的拉力，可增大动力臂，可适当升高悬挂点在桥塔上的高度，动力臂变大，从而减小钢索承受的拉力。 3．（2025·吉林长春·中考真题）“探究杠杆的平衡条件”的实验装置如图甲所示，所用的钩码质量均相同。 (1)杠杆不挂钩码时左端低、右端高，向 调节螺母，直至杠杆在水平位置平衡。 (2)在点挂2个钩码，在点挂 个钩码，使杠杆恢复水平平衡。取下点所挂的钩码，用弹簧测力计在点施加一个竖直向 的力，仍可使杠杆恢复水平平衡。 (3)如图乙所示，用核桃夹夹核桃时，核桃夹是一种 杠杆。 【答案】(1)右(2) 3 上(3)省力 【详解】（1）杠杆不挂钩码时左端低、右端高，表明重心偏左，应将平衡螺母向右移，直至杠杆在水平位置平衡。 （2）[1]设一个钩码的重力为G，杠杆一个格的长度为L，根据杠杆平衡条件得，2G×3L=F2×2L 则F2=3G，即在A点挂3个钩码，使杠杆恢复水平平衡。 [2]B点钩码对杠杆的力向下，能使杠杆逆时针转动，为了使杠杆能处于平衡状态，用弹簧测力计在C点施加的力，应与B点的力对杠杆的转动效果相反，即应能使杠杆顺时针转动，所以要施加一个竖直向上的力，仍可使杠杆恢复水平平衡。 （3）如图乙所示，用核桃夹夹核桃时，动力臂大于阻力臂，是一种省力杠杆。 4．（2025·四川广元·中考真题）“天宫”学习小组“探究杠杆的平衡条件”实验装置如图甲所示，每个钩码重0.5N。 (1)调节杠杆在水平位置平衡，图乙为第一次实验的情景，则本次实验的动力臂是 cm； (2)他们的三次实验数据如下表，分析可知，杠杆的平衡条件是 ；（用F1、F2、l1、l2表示） 次数 动力F1/N 动力臂l1/cm 阻力F2/N 阻力臂l2/cm 1 1.0 0.5 20.0 2 2.0 15.0 3.0 10.0 3 3.0 5.0 1.0 15.0 (3)如图丙所示，人的手臂是一根杠杆，由杠杆平衡条件可知，手臂是一根 杠杆。（选填“省力”、“费力”或“等臂”） 【答案】(1)10.0(2)(3)费力 【详解】（1）由图乙可知，刻度尺分度值为1cm，则本次实验的动力臂为10.0cm。 （2）分析表中数据则有，，，故可得杠杆的平衡条件是。 （3）如图丙所示，手臂的动力臂小于阻力臂，所以是费力杠杆。 5．（2025·天津·中考真题）图为汽车刹车装置的部分结构示意图。驾驶员踩下踏板，连着踏板的金属杆绕O点转动，推动活塞挤压刹车油，此时可把金属杆看成以O为支点的杠杆。不计金属杆自重及摩擦，请解答下列问题： (1)图中画出了杠杆的动力F1和阻力F2，其中正确的是 图； (2)若动力F1为300N，动力臂与阻力臂之比为5∶1，求阻力F2的大小。 【答案】(1)乙 (2)1500N 【详解】（1）动力F1应是驾驶员踩踏板的力，方向通常向下。阻力F2是活塞对金属杆的反作用力，方向应与活塞运动方向相反，通常为斜向或水平。此时踏板向下，活塞向左运动，则阻力F2向右，即正确的是乙图。 （2）根据杠杆平衡条件得阻力 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$