第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量及其分布，独立的重复试验及其概率，二项分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 随机变量与离散型随机变量 1 考点二 离散型随机变量的概率分布（或分布列） 2 考点三 离散型随机变量的均值 2 考点四 离散型随机变量的方差与标准差 3 考点五 独立的重复试验及其概率 4 考点六 二项分布 4 考点七 正态分布和正态曲线 5 考点八 标准正态分布 5 考点九 标准正态分布的概率分布 5 考点十 “3б”原则 5 考点一 随机变量与离散型随机变量 1.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A.某人射击一次，命中的“环数” B.从家里到学校有三个红绿灯路口，路上遇到绿灯的次数 C.一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 D.某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 2.设有10件产品，其中含有2件次品，从中任取2件检验，抽得的产品中所含的次品数. 3.抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么=5表示的随机试验结果有哪些可能？ 考点二 离散型随机变量的概率分布（或分布列） 4.随机变量的概率分布如表： ξ 0 1 2 P 0.2 0.5 其中= . 5.抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则等于( ) A. B. C. D. 6.设有10件产品，其中含有2件次品，从中任取3件检验，抽得的产品中所含的次品数及分布列. 考点三 离散型随机变量ξ的均值 7.已知的分布列如下表： 0 1 2 P 求数学期望. 8.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.一张彩票中奖金额的均值是多少元？ 考点四 离散型随机变量的方差与标准差 -2 0 2 P 9.已知的分布列如下表： 求数学期望、方差. 10.根据射击训练的记录，小米，小花，小翠三人命中环数的分布列见下表： 表一 小米命中环数 7 8 9 P 表二 小花命中环数 7 8 9 P 表三 小翠命中环数 7 8 9 P （1）试比较小米、小花射击水平的高低？ （2）小花、小翠两人谁的射击成绩比较稳定？ 考点五 独立的重复试验及其概率 11.花生发芽，每一粒的发芽的概率是90%，播下5粒花生种子，则其中恰有3粒发芽的概率为 . 12.若，则 . 13.一个工厂生产某种零件，其合格率为0.95。现从中随机抽取10个零件进行检查，每次抽取是独立的。求不超过2个不合格的概率，其中( 0.599). 考点六 二项分布 14.下列随机变量服从二项分布吗?若服从，其参数各是什么? （1）掷5枚相同的正方体骰子，为出现“1点”的骰子数 （2）女性患色盲的概率为0.25%，为任取10位女性中患色盲的人数 15.设离散型随机变量服从B(10,0.3),则它的E()= ,D()= . 16.一个射手进行射击训练，每次射击命中靶心的概率是0.8。他连续射击5次，每次射击是独立的。求： （1）至少命中3次的概率； （2）命中次数的数学期望和方差； 考点七 正态分布和正态曲线 17.关于正态分布，下面错误的是（ ） A.曲线都在x轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交 B.曲线关于直线对称 C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟型形状 D.曲线与轴之间的面积为1 考点八 标准正态分布 18.若某班40名同学某次考试数学成绩X(满分120分)近似服从正态分布已知,则可估计该班90分以上的人数为 . 考点九 标准正态分布的概率分布 19.已知，求随机变量取值小于4的概率. 考点十 “3б”原则 20.在正态分布中,求数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量及其分布，独立重复试验及其概率，二项分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 随机变量与离散型随机变量 1 考点二 离散型随机变量的概率分布（或分布列） 2 考点三 离散型随机变量的均值 5 考点四 离散型随机变量的方差与标准差 4 考点五 独立的重复试验及其概率 5 考点六 二项分布 6 考点七 正态分布和正态曲线 7 考点八 标准正态分布 7 考点九 标准正态分布的概率分布 9 考点十 “3б”原则 9 考点一 随机变量与离散型随机变量 1.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A.某人射击一次，命中的“环数” B.从家里到学校有三个红绿灯路口，路上遇到绿灯的次数 C.一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 D.某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 【答案】D 【分析】①随机变量：如果随机试验可以用一个变量表示，那么这样的变量称为随机变量.用符号，η或X,Y等表示. ②离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按照一定次序一一列出，这样的随机变量称为离散型随机变量. 【详解】A选项，是一个离散型随机变量，命中的“环数”,可能取0,1, ⋯,10. B选项，是一个离散型随机变量，因为可能的取值是有限的（0次、1次、2次或3次）。 C选项，是一个离散型随机变量，因为可能的白球数量是0、1、2或3，都是可数的。 D选项，这不是一个离散型随机变量，它可取（0，30]内的所有值，不能一一例出. 因此，正确答案是D. 2.设有10件产品，其中含有2件次品，从中任取2件检验，抽得的产品中所含的次品数. 【答案】次品数是一个可以取0，1，2等数值的变量. 3.抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么=5表示的随机试验结果有哪些可能？ 【答案】(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1) 【分析】当抛掷两颗骰子时，每颗骰子的点数范围是1到6。需要找出所有可能的组合，使得两颗骰子的点数之和为5. 【详解】第一颗骰子为1点，第二颗骰子为4点：组合：(1,4)，点数之和：1+4=5 第一颗骰子为2点，第二颗骰子为3点：组合：(2,3)，点数之和：2+3=5 第一颗骰子为3点，第二颗骰子为2点：组合：(3,2)，点数之和：3+2=5 第一颗骰子为4点，第二颗骰子为1点：组合：(4,1)，点数之和：4+1=5 这些组合都满足点数之和为5的条件。因此，当两颗骰子的点数之和为5时，可能的随机试验结果有四种：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)。 考点二 离散型随机变量的概率分布（或分布列） 4.随机变量的概率分布如表： ξ 0 1 2 P 0.2 0.5 其中= . 【答案】 【分析】若离散型随机变量可能取的不同值为₁,₂,⋯,₁,⋯,, 取每一个值 ()的概率 ξ ₁ ₂ … … P ₁ ₂ … … 这个表称为离散型随机变量的概率分布，简称为的分布列. 其中： 【详解】所有概率之和必须等于1，即,解得 5.抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】每枚骰子有6个面，所以两枚骰子的组合共有6×6=36种可能的结果。 每枚骰子的点数范围是1到6，因此两枚骰子的点数之和的最大值是12（即6+6）。 因此，点数之和大于10的情况有： 和为11：(5,6), (6,5)—2种情况，和为12：(6,6)—1种情况 总共有3种情况的点数之和大于10。 所以，因此，答案是C. 6.设有10件产品，其中含有2件次品，从中任取3件检验，抽得的产品中所含的次品数及分布列. 【答案】次品数的随机变量的可能取值是0，1，2，取得这些值的概率是 分布列如下： 0 1 2 P 考点三 离散型随机变量ξ的均值 7.已知的分布列如下表： 0 1 2 P 求数学期望. 【答案】 【分析】若离散型随机变量的分布列如下： ₁ ₂ … … P ₁ ₂ … … 则称为离散型随机变量的均值或数学期望.用E()表示， E() 【详解】 因此，随机变量的数学期望是. 8.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.一张彩票中奖金额的均值是多少元？ 【答案】设每张彩票的中奖金额为随机变量, 的所有可能取值为0,2,10,50,100,1000. 由题意可知 所以 所以的分布列为: 0 2 10 50 100 1000 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 所以E(X)=0+2×0.1+10×0.03+50×0.01+100×0.005+1000×0.0005=2. 考点四 离散型随机变量的方差与标准差 -2 0 2 P 9.已知的分布列如下表： 求数学期望、方差. 【答案】， 若离散型随机变量的分布列如下： ξ ₁ ₂ … … P ₁ ₂ … … 为离散型随机变量的方差. 离散型随机变量的方差D()的算术平方根称为离散型随机变量的标准差. 由表中数据得： 10.根据射击训练的记录，小米，小花，小翠三人命中环数的分布列见下表： 表一 小米命中环数 7 8 9 P 表二 小花命中环数 7 8 9 P 表三 小翠命中环数 7 8 9 P （1）试比较小米、小花射击水平的高低？ （2）小花、小翠两人谁的射击成绩比较稳定？ 【答案】（1）小米的射击水平高于小花（2）小翠的射击成绩更稳定 【分析】离散型随机变量ξ的标准差和方差，反映了随机变量取值的稳定与波动集中与离散程度，方差(标准差)越小，取值越集中，稳定性越高，波动越小；反之亦然. 【详解】（1）小米的均值： 小花的均值： 小米的均值：E()=8.2＞小花的均值 E()=8。因此，小米的射击水平高于小花。 （2）小翠的均值： ∵小花的方差：＞小翠的方差。因此，小翠的射击成绩更稳定. 考点五 独立的重复试验及其概率 11.花生发芽，每一粒的发芽的概率是90%，播下5粒花生种子，则其中恰有3粒发芽的概率为 . 【答案】 【分析】独立的重复试验：在相同条件下，重复进行n次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n次重复试验称为n次独立的重复试验. 独立的重复试验的概率：在n次独立的重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在 n次独立的重复试验中， 设事件A发生k次的概率为 【详解】 12.若，则 . 【答案】 【详解】 . 13.一个工厂生产某种零件，其合格率为0.95。现从中随机抽取10个零件进行检查，每次抽取是独立的。求不超过2个不合格的概率，其中( 0.599). 【答案】 【详解】每次抽取零件不合格的概率是p=0.05（因为合格率是0.95），抽取次数n=10。 随机变量X表示不合格的零件数，X服从二项分布B(10,0.05) 因为不超过2个不合格包括0个、1个和2个不合格的情况 所以 所以不超过2个不合格的概率为. 考点六 二项分布 14.下列随机变量服从二项分布吗?若服从，其参数各是什么? （1）掷5枚相同的正方体骰子，为出现“1点”的骰子数 （2）女性患色盲的概率为0.25%，为任取10位女性中患色盲的人数 【分析】判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布. 【详解】(1)每次掷骰子是独立的，且每次掷出“1点”的概率是，因此，这是一个典型的二项分布问题。n=5（掷骰子的次数），p=（每次掷出“1点”的概率） 随机变量服从二项分布，简记为，参数n=5，p= (2)每次试验（检查一位女性）是独立的，且每次试验中成功（即发现色盲）的概率是 p=0.25%。这也是一个典型的二项分布问题。 n=10（检查的女性人数），p=0.25%（每次检查发现色盲的概率） 随机变量服从二项分布，简记为,参数n=10，p=0.25%. 15.设离散型随机变量服从B(10,0.3),则它的E()= ,D()= . 【答案】E() =3，D()=2.1 【分析】如果离散型随机变量服从参数,的二项分布，即B，则其期望和方差分别为E()=,D()=. 【详解】因为给定的二项分布参数为n=10和p=0.3 所以E()==10×0.3=3 D()==10×0.3×(1−0.3)=10×0.3×0.7=2.1 16.一个射手进行射击训练，每次射击命中靶心的概率是0.8。他连续射击5次，每次射击是独立的。求： （1）至少命中3次的概率； （2）命中次数的数学期望和方差； 【答案】（1）)（2）， 【详解】（1）因为至少命中3次包括命中3次、4次和5次的情况 至少命中3次的概率) （2）因为和，对于二项分布 ，. 考点七 正态分布和正态曲线 17.关于正态分布，下面错误的是（ ） A.曲线都在x轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交 B.曲线关于直线对称 C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟型形状 D.曲线与轴之间的面积为1 【答案】 【分析】如果随机变量的概率密度函数是 其中是常数,且,那么称为服从参数为的正态分布, 简记为, 此时的密度曲线称为正态曲线，为正态随机变量. 正态分布的密度函数中，为的均值，为的方差，为的标准差. 剖析:①曲线在轴上方，并且关于直线对称. ②曲线在时处于最高点，由这点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈“中间高，两边低”的形状. ③曲线的对称轴位置由的值确定，曲线的形状由的值确定，越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”. 【详解】A选项是错误的，因为正态分布的曲线不会与轴相交。 B选项，是正确的。正态分布是对称的，均值是对称轴。 C选项，曲线呈现“中间高，两边低”的钟型形状：这也是正确的。正态分布的图形是钟形的，中心部分较高，两边逐渐降低。 D选项，曲线与 轴之间的面积为 1：这是正确的。正态分布的总面积（即曲线下的总面积）等于1，表示所有可能结果的总概率。 因此，答案是A. 考点八 标准正态分布 18.若某班40名同学某次考试数学成绩X(满分120分)近似服从正态分布已知,则可估计该班90分以上的人数为 . 【答案】个 【详解】根据正态分布的对称性：对称轴为,故 ， 人数计算：个. 考点九 标准正态分布的概率分布 19.已知，求随机变量取值小于4的概率. 【答案】 【分析】当随机变量服从正态分布时，有以下公式： ,, 【解析】因为,有 考点十 “3б”原则 20.在正态分布中,求数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率. 【答案】 【分析】研究表明，服从正态分布的随机变量在区间, ,内取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974. 【解析】因为所以 对于正态分布 因为 即 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$