第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查离散型随机变量及其分布，独立重复试验及其概率，二项分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在下列表述中不是离散型随机变量的是（  ） ①一天内接到的报警电话次数X； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X； ③某篮球下降过程中离地面的距离X； ④某立交桥一天经过的车辆数X. A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 【答案】C 【分析】离散型随机变量是指其取值是离散的，即变量的取值可以一一列举出来的随机变量。而连续型随机变量则是指其取值是连续的，无法一一列举。 【详解】①②④中的随机变量X可能取的值，都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量. 因此，答案是C. 2.已知随机变量X的分布列为如下表，则的值为（  ） X 0 1 2 p 0.2 0.5 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【答案】C 【详解】由概率和为1，得0.2+0.5+=1⇒=0.3 因此，答案是C. 3.设离散型随机变量X 的概率分布如下表：则（  ） X 0 1 2 3 P 0.4 0.2 0.1 0.3 A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.1 【答案】A 【详解】 因此，答案是A. 4.在100件产品中有3件次品，采用放回的方式从中任意抽取5件，设X表示这5件产品中的次品数，则（  ） A.(100,0.03) B.(5,0.03) C.(100,0.97) D.(5,0.97) 【答案】B 【分析】二项分布的一般形式是，其中是试验次数，是每次试验成功（在这里是抽到次品）的概率。 【解析】由已知可得（抽取的产品数），（每次抽取到次品的概率）。因此，随机变量应该表示为. 因此，答案选B. 5.已知随机变量, 则的值为（  ） 【答案】B 【详解】由二项分布的概率计算公式，有 因此，答案是B. 6.已知随机变量X的分布列如表, 若E(X)=4,则（  ） X 3 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【详解】∵ X的数学期望：，解得. 因此，答案是C. 7.设随机变量则下列说法不正确的有（  ） B.P(X=2)=P(X=3) C.X的数学期望 D.X的方差 【答案】B 【详解】∵，故A正确 ,≠,故B不正确 X的数学期望：故C正确； X的方差 故D正确 因此，答案是B. 8.若随机变量则正态曲线关于哪条直线对称?（  ） A. B. C. 【答案】B 【详解】正态分布是对称分布，曲线的对称轴为均值对应的直线对称中心的纵坐标最大(为曲线最高点)。 因此，答案是B. 9.抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则（  ） A.B. C. D. 【答案】C 【解析】点数之和小于4的情况只有两种可能：(1,1) 和 (1,2) 以及 (2,1)。 每种情况的概率都是×， 即 因此，答案是C. 10.随机变量X的分布列如下表所示，若则（  ） X -1 0 1 p A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知可得解得 因此，答案是C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11.已知则E(X)= ,D(X)= . 【答案】8,9 【详解】正态分布中， 所以均值方差 12.若随机变量的数学期望E()=2.2,则 . 【答案】21.2 【分析】根据数学期望的性质，如果已知，那么对于任何常数和，期望可以表示为： 【解析】. 13.随机变量的概率分布如表： 0 1 2 P b c 其中, b, c成等差数列, 则b= . 【答案】 【详解】由题意可知：，可得. 14.随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数X的数学期望是 . 【答案】 【详解】对于一个均匀的六面骰子，每个面出现的概率都是相等的，即， 骰子的点数X的可能取值为1,2,3,4,5,6 所以. 15.设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为,现各射击一次，目标被击中的概率为 . 【答案】 【分析】计算目标被击中的概率，可以先计算目标不被击中的概率，然后用1减去这个概率得到目标被击中的概率。 【解析】甲击中目标的概率为​，那么甲未击中目标的概率为 乙击中目标的概率为​，那么乙未击中目标的概率为 由于甲和乙是独立射击，两人都未击中目标的概率为： P(都未击中)=P(甲未击中)×P(乙未击中)= 因此，目标被击中的概率为：P(目标被击中)=1−P(都未击中)=1−. 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知随机变量X的分布列为： X -2 -1 0 1 p 0.2 0.3 0.1 0.4 计算E(X)和D(X). 【答案】, 【解析】 17.一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个.从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； 【详解】随机变量X表示从口袋中随机摸出3个球中白球的个数，X可能取值为0，1，2，3 , , X 0 1 2 3 p 18.从学校乘汽车到火车站的途中有4个路口、假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的.并且概率都是,设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列. 【详解】每次在路口遇到红灯的概率是，路口总数 随机变量表示途中遇到红灯的次数，，有 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 P 19.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，且每次射击相互独立，现连续射击5次，求: (1)恰好命中4次的概率; (2)命中次数不超过2次的概率; (3)方差D(X). 【答案】（1）（2）（3） 【解析】设随机变量表示命中次数，那么服从参数为n=5（射击次数）和p=0.7（每次射击命中目标的概率）的二项分布，记作 （1）恰好命中4次的概率为： （2）“命中次数不超过2次”包含X=0、X=1、X=2,分别计算后求和： （3）. 20.某射手射击4次，每次射击击中目标的概率为求： （1）4次射击都击中目标的概率； （2）击中次数的分布列； 【详解】（1）因为每次射击击中目标的概率为，所以. （2）设为击中目标的次数，的可能取值为0,1, 2, 3, 4 分布列为： 0 1 2 3 4 P 21.在学校的跳绳比赛中，只有小明、小红、小刚三名同学参加。比赛成绩达到180个以上 (含180个)的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了他们以往的比赛成绩，并整理得到以下数据 (单位：个)： 小明：185,182,178,175,170,168,165,181,158,188; 小红: 188,183,180,177,174,171; 小刚: 186,183,179,176; 假设用频率估计概率，且小明、小红、小刚的比赛成绩相互独立。 (1)估计小明、小红、小刚各自在本次跳绳比赛中获得优秀奖的概率； (2)设Y是小明、小红、小刚在本次跳绳比赛中获得优秀奖的总人数，求Y的分布列，估计Y的数学期望与方差。 【答案】(1), (2)Y的数学期望为1.4,方差为0.74 【详解】（1）因为用频率估计概率，小明的比赛成绩共10个，其中达到180个以上(含180个)的有4个， 因为小红的比赛成绩共6个，其中达到180个以上(含180个)的有3个， 因为小刚的比赛成绩共4个，其中达到180个以上(含180个)的有2个， （2）Y表示小明、小红、小刚在本次跳绳比赛中获得优秀奖的总人数，Y可能取值为0,1,2,3。 P(Y=0)=(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.5)= 0.6×0.5×0.5=0.15 P(Y=1)=0.4×(1-0.5)×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5×(1-0.5)+(1-0.4)×(1-0.5)×0.5=0.4 P(Y=2)=0.4×0.5×(1-0.5)+0.4×(1-0.5)×0.5+(1-0.4)×0.5×0.5=0.35 P(Y=3)=0.4×0.5×0.5=0.1 分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 可得E(Y)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4 D(Y)=×0.15+×0.4+×0.35+×0.1-=0.74 所以Y的数学期望为1.4,方差为0.74. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查离散型随机变量及其分布，独立重复试验及其概率，二项分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在下列表述中不是离散型随机变量的是（  ） ①一天内接到的报警电话次数X； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X； ③某篮球下降过程中离地面的距离X； ④某立交桥一天经过的车辆数X. A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 2.已知随机变量X的分布列为如下表，则的值为（  ） X 0 1 2 p 0.2 0.5 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.设离散型随机变量X 的概率分布如下表：则（  ） X 0 1 2 3 P 0.4 0.2 0.1 0.3 A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.1 4.在100件产品中有3件次品，采用放回的方式从中任意抽取5件，设X表示这5件产品中的次品数，则（  ） A.(100,0.03) B.(5,0.03) C.(100,0.97) D.(5,0.97) 5.已知随机变量, 则的值为（  ） 6.已知随机变量X的分布列如表, 若E(X)=4,则（  ） X 3 A.2 B.4 C.6 D.8 7.设随机变量则下列说法不正确的有（  ） B.P(X=2)=P(X=3) C.X的数学期望 D.X的方差 8.若随机变量则正态曲线关于哪条直线对称?（  ） A. B. C. 9.抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则（  ） A.B. C. D. 10.随机变量X的分布列如下表所示，若则（  ） X -1 0 1 p A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11.已知则E(X)= ,D(X)= . 12.若随机变量的数学期望E()=2.2,则 . 13.随机变量的概率分布如表： 0 1 2 P b c 其中, b, c成等差数列, 则b= . 14.随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数X的数学期望是 . 15.设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为,现各射击一次，目标被击中的概率为 . 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知随机变量X的分布列为： X -2 -1 0 1 p 0.2 0.3 0.1 0.4 计算E(X)和D(X). 17.一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个.从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； 18.从学校乘汽车到火车站的途中有4个路口、假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的.并且概率都是,设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列. 19.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，且每次射击相互独立，现连续射击5次，求: (1)恰好命中4次的概率; (2)命中次数不超过2次的概率; (3)方差D(X). 20.某射手射击4次，每次射击击中目标的概率为求： （1）4次射击都击中目标的概率； （2）击中次数的分布列； 21.在学校的跳绳比赛中，只有小明、小红、小刚三名同学参加。比赛成绩达到180个以上 (含180个)的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了他们以往的比赛成绩，并整理得到以下数据 (单位：个)： 小明：185,182,178,175,170,168,165,181,158,188; 小红: 188,183,180,177,174,171; 小刚: 186,183,179,176; 假设用频率估计概率，且小明、小红、小刚的比赛成绩相互独立。 (1)估计小明、小红、小刚各自在本次跳绳比赛中获得优秀奖的概率； (2)设Y是小明、小红、小刚在本次跳绳比赛中获得优秀奖的总人数，求Y的分布列，估计Y的数学期望与方差。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$