第八章 排列组合（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了计数原理，排列组合的运算及应用与二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 分类计数原理 1 考点二 分步计数原理 2 考点三 计数原理的应用 5 考点四 排列及排列数计算 4 考点五 排列数 5 考点六 组合的概念 6 考点七 组合数与组合数公式 7 考点八 组合数的性质 7 考点九 排列组合的综合问题 9 考点十 二项式定理的概念 9 考点十一 二项式定理的通项公式 9 考点十二 二项式系数的性质 9 考点一 分类计数原理 1.从6名女同学和4名男同学中选1人去参加数学竞赛，则不同的选法为 种. 【答案】10 【分析】如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，第n类办法中有种不同的方法，每种方法都能完成这件事，那么完成这件事共有种不同的方法，这种计数原理称为分类(加法)计数原理. 【详解】由题知，选1人参加数学竞赛适用于分类计数原理，即不同的选法：6+4=10种. 考点二 分步计数原理 2.从6名女同学和4名男同学中各选1人去参加数学竞赛，则不同的选法为 种. 【答案】 【分析】如果完成一件事有n个步骤，完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，…，完成第n步有种不同的方法，并且当且仅当完成这n步后，这件事才算完成，那么完成这件事共有种不同的方法，这种计数原理称为分步(乘法)计数原理. 【详解】总选法数=选择女同学的方法数×选择男同学的方法数=6×4=24 因此，不同的选法共有24种。 考点三 计数原理的应用 3.小红有12件不同颜色的衬衣，10件不同样式的裤子，另有3套不同样式的连衣裙，若她选择一套服装参加元旦演出，则有 种不同的选择方式. 【答案】123 【分析】 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有n类方法， 关键词是“分类” 完成一件事，共有n个步骤， 关键词是“分步” 区别二 n类方法中的每一类都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 n个步骤中任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有n个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 n类方法之间是互斥的、并列的、独立的 n个步骤之间是关联的、独立的. “关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 【详解】对于每一件衬衣，都可以搭配10件裤子中的任意一件，因此衬衣和裤子的组合方式共有12×10=120种。 每一套连衣裙都是一个独立的选择，所以连衣裙的选择方式共有3种。 总选择方式=120+3=123，因此，小红有123种不同的选择方式. 4.用0, 1, 2, 3, 4这5个数字，可以组成 个数字可以重复的三位数. 【答案】100 【详解】分三步：百位不能为0（否则不是三位数），所以有4种选择（1，2，3，4，）； 由于数字允许重复，故十位数字有5种选法；个位数字也有5种选法.因此所求三位数共有：4×5×5=100(个). 考点四 排列及排列数计算 5.下面说法正确的是（ ） A.4,5,6与6,5,4为同一排列 B.在一个排列中，同一个元素可以重复出现 C.从4,5,6,7中任选两个元素，就组成一个排列 D.从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题 【答案】 排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。 核心要点包括：1.顺序影响排列结果，顺序不同视为不同排列； 2.元素不重复，同一元素不能出现多次； 3.排列需明确顺序，仅选元素不涉及顺序时属于组合问题。 A选项错误，排列顺序不同即为不同排列。4,5,6与6,5,4元素相同但顺序不同. B选项，在排列中，‌同一个元素不能重复出现‌。所以错误 C选项,“任选两个元素”没有考虑元素的顺序，所以错误 因此，答案是D. 6.从甲，乙，丙三个人中选两人出来当正副班长，列出所有的可能性. 从甲、乙、丙三个人中选择两人出来担任正副班长，这是一个排列问题，因为选出的两人担任的职务（正班长和副班长）是不同的，顺序很重要。 以下是所有可能的排列方式： 1.甲当正班长，乙当副班长2.甲当正班长，丙当副班长3.乙当正班长，甲当副班长 4.乙当正班长，丙当副班长5.丙当正班长，甲当副班长6.丙当正班长，乙当副班长 总共有6种不同的排列方式。 考点五 排列数 7.计算. （1） （2） （3）0! 【答案】（2）（3）1 排列数公式： 其中n! 表示n的阶乘，即n×(n−1)×…×2×1。 【详解】（1），（2） （3）0!是一个特殊的阶乘，其定义为：0!=1. 8.从7本不同的书中选4本分别送给4个学生，每人1书，共有 种不同的选法. 【答案】 【详解】不同选法的种数是即共有种不同的选法. 考点六 组合的概念 9.从甲，乙，丙，丁四个人中选三人出来参赛，列出所有的可能性. 【答案】①甲、乙、丙②甲、乙、丁③甲、丙、丁④乙、丙、丁 【分析】组合的概念：从个不同元素中取出个元素并成一组，称为从个不同元素中取出个元素的一个组合. 核心要点：①要求个元素是不同的，被取出的元素也是不同的；元素的位置没有要求，即无序的；两个组合只要元素的个数相同，它们就是同一个组合. ②排列与组合的区别为排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. 【详解】从甲、乙、丙、丁四人中选出三人参赛，可以通过列举所有可能的组合来解决。 以下是所有可能的组合：①甲、乙、丙②甲、乙、丁③甲、丙、丁④乙、丙、丁总共有4种不同的组合方式。 考点七 组合数与组合数公式 10.计算. （1） （2） （3） 【答案】（2）（3）1 【分析】组合与组合数是两个不同的概念，组合是完成一件事，组合数是完成一件事的所有可能的个数.组合数公式：,有， 【详解】（1），（2）,（3） 11.计算机班有45个学生，从中选2人参加元旦汇演，有 种不同的选法. 【答案】 【详解】直接由组合的定义得，从45人中任选2人，共有种. 考点八 组合数的性质 12.计算. （1） （2） 【答案】（2） 【分析】组合数的性质1: 【详解】;（2）. 13.计算： . 【答案】 【分析】组合数的性质2: 【详解】由. 考点九 排列组合的综合问题 14.7人排成一排，其中甲不站左端也不站右端，有 种不同的站法. 【答案】 【分析】特殊元素优先法：当题干中某些元素或者位置有特殊要求时，求解时需要优先考虑有限制的元素或者位置，再考虑其他没有条件限制的元素或者位置。 【解析】先排甲，再排剩下的6人.所以. 15.4个男生和2个女生排成一排，2个女生要排在一起，有 种不同的排法. 【答案】 【分析】相邻问题捆绑法：某些个体需呈现“在一起”“相邻”或“连续”的状态时，可运用捆绑法来解题。具体而言，是将这些有特殊要求的个体视作一个整体，先把这个整体与其余个体进行排列组合的运算。完成这一步后，不要忘记还要对这些“捆绑在一起”的个体内部进行排列组合，如此便能得出最终的排列组合结果。 【解析】采用捆绑法，把2个女生视为一个元素，与4个男生进行排列，共有 然后2个女生内部再进行排列，有, 两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：. 16.7人排成一列照相，甲、乙2人互不相邻，有 种排法. 【答案】 【分析】不相邻问题插空法：某些个体需达成“分开”“间隔”“不相邻”或“不连续”的条件，此时便可采用插空法予以解决。具体而言，将剩余无特殊要求的元素全排列，再将不相邻元素插入空隙中。 【详解】先将除甲、乙2人的另外5人进行全排列，5人形成6个空格，让甲、乙插入，即可保证甲、乙不相邻，即有 17.将5个大小相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少得到一个苹果，一共有多少种分法？ 【答案】 【分析】相同元素隔板法：设定是要把相同的n个元素分成m份，并且规定每份“至少有一个”时，按如下步骤操作：先将这些相同元素依次排成一列，随后在元素与元素之间的空位处放置隔板。由于n个元素排列后会产生（n - 1）个可供隔板放置的位置，而要将其分成m份只需（m - 1）块隔板，依据组合原理，共有. 【详解】可以把5个苹果看成一排，那么这5个苹果之间就会形成4个空，为了将这5个苹果分成3份，需要在这4个空中插入2个挡板。插入挡板后，挡板将苹果分成了3部分，每一部分对应一个小朋友得到的苹果数。一共有. 考点十 二项式定理的概念 18.写出二项式的展开式. 【答案】 【分析】设，b是任意实数，n是任意给定的正整数，都有 这个式子所表示的定理称为二项式定理，等号右边的多项式称为的二项展开式，其中系数称为二项式系数. 【解析】 考点十一 二项式定理的通项公式 19.已知二项式的展开式的第4项是 第4项的二项式系数是 第4项的系数是 . 【答案】, 【分析】二项展开式的第项称为二项展开式的通项式。 【解析】二项式的展开式的通项式是 展开式的第4项，即=3, 第4项的二项式系数是 第4项的系数是. 考点十二 二项式系数的性质 20.求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数. 【答案】二项式系数最大的项为这一项的系数为 【分析】在二项式系数,,,…,中,有： ①当n为偶数时，二项式系数最大； 当n为奇数时，二项式系数最大且相等. 【解析】因为n=8为偶数，所以二项式系数最大的是中间一项，即第项的二项式系数最大，这一项为 , 这一项的系数为. 21.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则展开式中最大的二项式系数为________. 【答案】10 【分析】二项式系数之和为 【详解】由=32得，故展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，且最大的二项式系数为==10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了计数原理，排列组合的运算及应用与二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 分类计数原理 1 考点二 分步计数原理 1 考点三 计数原理的应用 2 考点四 排列及排列数计算 2 考点五 排列数 2 考点六 组合的概念 3 考点七 组合数与组合数公式 3 考点八 组合数的性质 3 考点九 排列组合的综合问题 3 考点十 二项式定理的概念 4 考点十一 二项式定理的通项公式 4 考点十二 二项式系数的性质 4 考点一 分类计数原理 1.从6名女同学和4名男同学中选1人去参加数学竞赛，则不同的选法为 种. 考点二 分步计数原理 2.从6名女同学和4名男同学中各选1人去参加数学竞赛，则不同的选法为 种. 考点三 计数原理的应用 3.小红有12件不同颜色的衬衣，10件不同样式的裤子，另有3套不同样式的连衣裙，若她选择一套服装参加元旦演出，则有 种不同的选择方式. 4.用0, 1, 2, 3, 4这5个数字，可以组成 个数字可以重复的三位数. 考点四 排列及排列数计算 5.下面说法正确的是（ ） A.4,5,6与6,5,4为同一排列 B.在一个排列中，同一个元素可以重复出现 C.从4,5,6,7中任选两个元素，就组成一个排列 D.从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题 6.从甲，乙，丙三个人中选两人出来当正副班长，列出所有的可能性. 考点五 排列数 7.计算. （1） （2） （3）0! 8.从7本不同的书中选4本分别送给4个学生，每人1书，共有 种不同的选法. 考点六 组合的概念 9.从甲，乙，丙，丁四个人中选三人出来参赛，列出所有的可能性. 考点七 组合数与组合数公式 10.计算. （1） （2） （3） 11.计算机班有45个学生，从中选2人参加元旦汇演，有 种不同的选法. 考点八 组合数的性质 12.计算. （1） （2） 13.计算： . 考点九 排列组合的综合问题 14.7人排成一排，其中甲不站左端也不站右端，有 种不同的站法. 15.4个男生和2个女生排成一排，2个女生要排在一起，有 种不同的排法. 16.7人排成一列照相，甲、乙2人互不相邻，有 种排法. 17.将5个大小相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少得到一个苹果，一共有多少种分法？ 考点十 二项式定理的概念 18.写出二项式的展开式. 考点十一 二项式定理的通项公式 19.已知二项式的展开式的第4项是 第4项的二项式系数是 第4项的系数是 . 考点十二 二项式系数的性质 20.求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数. 21.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则展开式中最大的二项式系数为________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$