第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册

第四章 整式的加减 专题训练：规律探究型问题训练 一、单选题 1．★■▲●★■▲●……，按这样的规律排下去，第215个图形是（ ）． A．★ B．■ C．● D．▲ 2．在学校举办的文化节上，设置了一个数字闯关游戏．工作人员用卡片摆出了如下三角形数阵：游戏规则是参与者需要找出指定位置的数字．现在问，按照这样的排列规律，第11行从左往右数第6个数是（   ） 第1行：1 第2行：2  3 第3行：4  5  6 第4行：7  8  9  10 …… A．61 B．62 C．63 D．64 3．数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的代数式：…，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 6．如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（ ） A．265 B．266 C．267 D．268 7．一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 8．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第m个图形中的点数是64，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（   ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 10．“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 11．请找出下列数的规律，并在横线上填上适当的数：1，3，6，10，15， ，28． 12．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是 ． 13．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 14．如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为 ． 15．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 三、解答题 16．观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 17．化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 18．【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 19．如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． (1)按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． (2)若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 20．[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 整式的加减 专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C D C D C A 1．D 【分析】本题主要考查图形的规律，图形按照“★■▲●”的顺序循环排列，每4个为一个周期。确定第215个图形时，计算215除以4的余数，余数对应周期中的位置． 【详解】解：观察图形排列规律“★■▲●”，每4个图形重复一次，即周期为4， ∵， ∴余数为1对应“★”，余数为2对应“■”，余数为3对应“▲”，整除时对应“●”， 此处余数3对应第3个图形“▲”， ∴第215个图形是选项D， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了数字规律，观察已有的三角形数阵，得出第1行有1个数，第2有2数，第3有3数，以此类推，得出第1行到第10行，一共有个数，结合三角形数阵的数从开始，且每个数是连续递增1的，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即第1行到第10行，一共有个数， 且观察三角形数阵的数从开始，且每个数是连续递增1的， 即， ∴第11行从左往右数第6个数是61， 故选：A 3．D 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律．通过递推公式计算前几项，观察数列是否呈现周期性，找到循环周期后，利用模运算定位目标项；将问题转化为二次函数的最小值问题，利用顶点公式求解． 【详解】解：根据递推公式计算前几项：， ， ， ， ， （周期开始重复） 由此可知，数列每5项为一个周期． 发现周期性：从开始，数列重复，，，，，周期为5． 余0，对应， 余1，对应 余2，对应， ∴， 转化为二次函数：，其最小值在顶点处取得．顶点横坐标为：， 代入得最小值：． 故选：D． 4．C 【分析】分别观察所给代数式中和的指数变化规律，根据规律确定第个代数式的形式，再逐一分析选项得出答案．本题主要考查代数式的规律探究，熟练掌握通过观察、归纳确定代数式中字母指数规律的方法是解题的关键． 【详解】解：观察x的指数规律， 第1项：， 第2项：， 第3项：…， 规律：第n项中x的指数为n，即， 观察y的指数规律第1项：， 第2项：， 第3项： …， 规律：第n项中y的指数为，即， ∴第n个代数式为：， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，据此规律可得答案． 【详解】解：第1个单项式的系数的绝对值为2，次数为1，系数符号为负， 第2个单项式的系数的绝对值为3，次数为2，系数符号为正， 第3个单项式的系数的绝对值为4，次数为3，系数符号为负， 第4个单项式的系数的绝对值为5，次数为4，系数符号为正， 第5个单项式的系数的绝对值为6，次数为5，系数符号为负， ……， 以此类推可知，第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，则第n个代数式是， 故选：C． 6．D 【分析】此题主要考查了图形的变化规律．仔细观察图形的变化，找到规律，利用规律求解． 【详解】解：第①个图形中有个★， 第②个图形中有个★， 第③个图形中有个★， 第④个图形中有个★， …， 第n个图形中共有个★． 当时，， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，观察给定式子的变化规律，每个式子由的幂次方减去一个常数项构成，分析幂次和常数项的变化规律，确定第个式子的形式． 【详解】解：第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了图形变化规律的问题，找出第n个图形点数的表达式是解题的关键． 确定第1，2，3，4个图形的点数，按此规律，找出第n个图形点数的表达式，即可解答． 【详解】解：第1个图形的点数为：， 第2个图形的点数为：， 第3个图形的点数为：， 第4个图形的点数为：， …… 第n个图形的点数为：． ∵第m个图形中的点数是64， ∴， 解得． 故选D． 9．C 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出已知规律是解题关键．观察图形发现第个图案由个基础图形组成，即可求解． 【详解】解：由图形可知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， …… 观察发现，第个图案由个基础图形组成， 第2025个图案中的基础图形个数为， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 11．21 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，将所给数变形为推出即可． 【详解】解：将所给数变形为， 故答案为：21． 12． 【分析】本题考查单项式中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解：∵关于x的单项式为：，，，，，，…， ∴第n个单项式为． 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律即可求解． 先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 14．45 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，仔细观察图形并找到图形变化的规律是解题的关键． 仔细观察图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 故答案为：45． 15． 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律．先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 17．(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 18．(1)①③ (2)见解析 (3)可被整除，见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，逐个计算，即可得出答案； （2）根据可以被整除，设，将四位数整理得出，将代入，得出，即可证明； （3）根据题意得出，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①，，能被整除，则能被整除； ②，，不能被整除，则不能被整除； ③，，能被整除，则能被整除； 故可以被整除是①③． 故答案为：①③． （2）证明：∵可以被整除， 故设， 对于四位数， 则这个四位数 将代入，得， 整理得； ∵能被整除， ∴能被整除． （3）解：是， 理由：对于四位数，， 对于四位数，， 故 ； ∵能被整除， 故能被整除． 19．(1)米；18块 (2)块 【分析】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，解题的关键是找到规律． （1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量； （2）观察题目中的已知图形，可得前3个图案中有花纹的地面砖数和正方形地砖总数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和正方形地砖总数． 【详解】（1）解：根据题意得：第1个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为 第2个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 第3个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 故答案为：米；18 （2）解：根据题意得：第1个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为1块， 第2个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为2块， 第3个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为3块， ……， 第n个图案中的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为n块， ∴没有花纹的地砖块数为块． 20．（1）46；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法． （1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数； （2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可． 【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1； 第2层最后一个数是； 第3层最后一个数是； 第4层最后一个数是； ∴第9层最后一个数是； ∴第10层最左边的数是； （2）12层共有（个）数， 其中23个负数，1个0，54个正数， 按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$