21.3实际问题与一元二次方程教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册

课时教学设计 第三周 第1课时 新课题目 21.3 实际问题与一元二次方程 教学目标 （核心素养） 1. 会用数学的眼光观察世界：能用示意图表示并抽象出题目中的数量关系，通过整式变形观察发现其中蕴含的规律. 2. 会用数学的思维思考问题：通过所学的知识转化代数式形式及解方程，培养学生推理能力与计算能力. 3. 会用数学的语言表达思想：养成善于利用数学的语言表示规律或数量关系的习惯，借助实际生活的问题培养应用意识. 重点 会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 难点 正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 师生活动：教师播放视频，学生通过观看学习传染病的传染原理. 二、探究新知 知识点1：传播问题与一元二次方程 合作探究 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 师生活动： 教师提问：如何解决这一问题呢？ 学生独立思考并小组讨论，小组代表发言，若有小组用自己的方法讲解清楚，教师应予以肯定，若没有同学想出计算方法，教师可提议画示意图分析. 动手实践 请画出传染示意图 (设传染 x 轮). 师生活动：教师通过PPT放映展示示意图，并提示学生在第二轮的时候，传染源依旧传染了x人. 根据示意图，填写下列表格并作答. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生将多相似化为 (1+x)2 的形式. 教师请学生代表列方程解答，教师整理板书如下： (1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 分析： 师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表发言，预测学生可能用话示意图或列式方式得出规律. 教师也可引导学生列式表示轮传染后患流感人数：1 + x + x(1 + x) + x[1 + x + x(1 + x)] = (1 + x)2 + x(1 + x)2 = (1 + x)3 3 轮传染后的人数是： (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感? 师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表发言，预测小组能得出正确答案 (1+x) + x(1 + x) + … + x(1 + x)n-1 = (1 + x)n人 例题精析 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支? 师生活动：学生先独立思考，教师可提示学生设每个支干长出 x 个小分支，并画出示意图如下： 学生独立完成，学生代表板书，教师适当点评： 1. 为增强学生身体素质。提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意，可列方程______________. 师生活动：学生先独立解答，教师巡堂查看，教师请用不同方法的同学分别上台讲解，预测如下： 三、当堂练习 1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？ 2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 3. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 设计意图：借助多媒体吸引学生注意，帮助学生理解知识点，快速进入课堂. 设计意图：让学生通过观察图片列式，强化学生数学语言表达能力. 借助示意图和列表分析，培养学生学习习惯和推理能力. 设计意图：引导学生列式，学会举一反三，在整式的转化过程中发现规律，激发学生的学习兴趣与探究意识. 设计意图：区别于病毒传播问题，本题主干不会继续分化，提醒学生具体问题具体分析，养成严谨思考的习惯. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧. 设计意图：巩固足球比赛类问题的解题技巧. 设计意图：强化传播类问题的解题能力. 设计意图：强化学生用数学语言表达问题的能力与解一元二次方程的熟练程度. 作业设计 练习题 板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程 传染 (1 + x)n 支干 1 + x + x2 + … + xn 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 第三周 第2课时 新课题目 21.3 实际问题与一元二次方程 教学目标 （核心素养） 1.会用数学的眼光观察世界：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题，强化学生符号意识与抽象能力. 2.会用数学的思维思考问题：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型，培养学生推理意识. 3.会用数学的语言表达思想：养成善于利用数学的语言解释生活中的问题，发展实践能力. 重点 通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题. 难点 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 思考 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了 20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？ 师生活动：学生先独立思考，教师请学生叙述分析思路并整理为板书： 二、探究新知 知识点1：平均变化率与一元二次方程 探究 两年前生产1 t甲种药品的成本是5000元，生产1 t乙种药品的成本是6000元. 随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3000元，生产1 t乙种药品的成本是3600元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 问题1 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？ 师生活动：教师提问，学生代表回答： 甲：(5000-3000)÷2=1000 (元)； 乙：(6000-3600)÷2=1200 (元). 问题2 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？它们和下降额相同吗？ 师生活动：教师出示下降率公式 动手实践 设甲下降率x，设下降率y . 请自己动手写出分析过程并尝试解答. 师生活动：教师出示表格，请学生代表填写，教师适当评价与指导，完成表格如下： 学生再独立解答，学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书： 教师适时追问：舍去1.775，为什么呢？ 预测学生能回答：根据实际情况，下降率应小于1，否则一年前成本为负数. 教师引导学生填空并总结. 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格. 一般下降率不可为负，且不大于 1. 例题精析 例1 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 师生活动：学生先独立思考，教师引导学生分析数量关系： 学生再独立解答，学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书： 教师引导学生总结：年均增长率需要考虑实际情况取值. 1.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 5000元，现在生产一吨药的成本是4050元. 设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程正确的是 ( ) A.5000(1 + x2) = 4050 B.4050(1 + x2) = 5000 C.5000(1 - x2) = 4050 D.4050(1 - x2) = 5000 师生活动：学生先独立思考，然后请学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 三、当堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则可列方程为 .(不用化简) 3. (东营中考)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 kg的目标. (1) 如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2) 按照 (1) 中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产达到1200 kg，请通过计算说明他们的目标是否能实现. 设计意图：引入实际问题，使学生感受到增长率的应用，用直观的示意图的方式帮助学生分析题目，促使学生的学习形成正向迁移. 设计意图：将问题细分为5个小问题，帮助学生逐步分析，克服畏难心理，理清解决问题的思路，强化学生推理能力. 设计意图：通过简单的问题帮助学生明晰下降率和下降额的区别与联系. 设计意图：用表格将数量关系明晰化，进一步引导学生动手实践，培养学生思考问题的能力. 设计意图：提醒学生解决实际问题要考虑实际情况取舍. 设计意图：类比下降率探索增长率的应用，提高学生学习的迁移水平. 设计意图：通过练习巩固所学知识，锻炼学生独立分析问题并列式的能力. 设计意图：让学生通过练习巩固增长率的知识. 设计意图：让学生通过练习巩固平均变化率的知识. 设计意图：让学生通过练习巩固平均变化率的知识，提高解题技巧. 作业设计 练习题 板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程 增长率：a(1 + x)n 下降率：a(1 - x)n 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 第三周 第3课时 新课题目 21.3 实际问题与一元二次方程 教学目标 （核心素养） 1.会用数学的眼光观察世界：挖掘几何问题中的代数信息，把握问题本质，发展学生数形结合思维与空间想象力. 2.会用数学的思维思考问题：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，培养学生推理意识. 3.会用数学的语言表达思想：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题，发展应用能力. 重点 运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 引例： 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 师生活动：教师播放PPT，学生先独立思考，再小组讨论. 二、探究新知 知识点1：几何图形与一元二次方程 合作探究 请尝试分析一下此题的解题思路 并回答下述五个问题. 师生活动：教师引导学生分析题意 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ②设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 列出的方程为整数式，方便计算. ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ⑤请尝试换一种设未知数的方法，更简单的解决上 述问题. 教师追问：学生小组讨论，小组代表展示，教师适当评价与完善板书： 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 教师追问：还有其他列法吗？ 若有学生还有其他方法，教师都应予以肯定，若没有，教师补充讲解如下方法： 方法总结： 解决有关图形面积问题： 三、当堂练习 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 设计意图：引入实际问题，使学生发现几何问题中的代数信息，养成用数学的眼光看问题的习惯. 设计意图：将问题细分为5个小问题，帮助学生逐步分析，克服畏难心理，理清解决问题的思路，强化学生推理能力. 设计意图：通过简单的问题帮助学生明晰矩形的长宽的数量关系，引导学生设未知数. 设计意图：提示学生简便计算，复习解一元二次方程的方法，锻炼学生的计算能力. 设计意图：提醒学生解决实际问题要考虑实际情况取舍. 设计意图：方法总结锻炼学生归纳能力. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧，发展学生数形结合思维与空间想象力. 设计意图：练习动点问题中一元二次方程的应用，提高应用能力. 作业设计 练习题 板书设计 几何面积问题与一元二次方程 规则图形：面积公式 不规则图形：割补法 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 学科网（北京）股份有限公司 $$