专题01 集合与充要条件（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、课标解读 1. 集合 · (1)集合及其表示: · (2)集合之间的关系: · (3)集合的运算: 2. 充要条件 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 1 集合与元素之间的关系 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合与充要条件选择题近几年都有涉及，各有一题，分值一般在6分，今年的样卷只有一道集合题，去掉了充分必要条件题。 （3）内容：集合的概念、集合与元素之间、元素与元素之间的的关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与集合、三角函数、不等式、初中所学知识等知识点结合。 2024 选择题 1 集合/集合的运算（并集） 3 选择题 4 充分必要条件（与三角函数结合考查） 3 2023 选择题 1 集合/集合的运算（并集） 3 选择题 4 充分必要条件（与三角函数结合考查） 3 2022 选择题 1 集合/集合的运算（补集） 3 选择题 3 充分必要条件（与平面几何结合考查） 3 2021 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 3 选择题 3 充分必要条件（与绝对值结合考查） 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有1道题目考查集合或充分必要条件，题型设置为单项选择题，分值3分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1．已知集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．集合共有（ ）个子集 A．3 B．6 C．7 D．8 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．已知条件甲：“”，条件乙：“”，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案解析 1．D 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】∵集合，∴，，，． 故选：D. 2．D 【分析】根据题意结合子集个数公式即可得解. 【详解】集合中元素个数为， 则子集个数为， 故选：. 3．A 【分析】利用交集的概念可求. 【详解】因为集合，集合， 所以； 故选：A. 4．C 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则， 故选：C. 5．D 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，， 所以， 又， 所以． 故选：D. 6．C 【分析】根据集合的补集的定义求解即可. 【详解】全集，集合，则. 故选：C. 7．A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【详解】由，则或， 所以可以推出，而不能推出， 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 8．A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的概念，即可求解. 【详解】若，对等式两边同时立方，根据立方运算的性质，则一定成立， 即充分性成立； 若，则，可化为， 即，则一定成立，即必要性成立； 故“”是“”的充要条件. 故选：A. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合与元素之间的关系 【例1】（2025年河北样卷）下列关系正确的是（ ） A． -3 N B． 0.5 Z C. D． π R 【答案】D 【解析】本题考查集合与元素之间的关系， A选项：-3不是自然数，错误。 B选项：0.5不是整数，错误。 C选项： 不是有理数，错误。 D选项：π是实数，正确。 故答案为：D. 【考试题型2】与方程、不等式结合的集合运算 【例2】（2023年河北对口高考）（1）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元二次方程可以求出集合N，再根据集合并集运算易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【考试题型3】集合的运算 【例3】（2024年河北对口高考）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】 故选：D. 【例4】（2022年河北对口高考）已知全集，集合，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】已知全集，， 根据补集的定义可知：补集中的元素x满足且 所以集合M的补集为. 故选：B 【例5】（2021年河北对口高考）（1）设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算结合集合的表示即可求解. 【详解】因为，， 根据交集的运算性质可得. 故选:B. 【考试题型4】判断是否空集 【例6】（2020年河北对口高考）（1）下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解每个集合中的元素即可判断. 【详解】对于A，由可得：且，有1个元素，故A不是空集； 对于B，即，该方程无解，故是空集； 对于C，恒成立，故是空集； 对于D，即空集的符号表示. 故选：A. 【考试题型5】集合的子集个数 【例7】（2019年河北对口高考）（1）设集合，则集合的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】列出集合的子集即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合A的子集有，共8个. 故选：D. （二）充要条件 【考试题型1】与集合间关系结合的逻辑关系 【例1】（2024年河北对口高考）“是锐角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的符号以及充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】解：若是锐角,则,反之若,则是锐角不成立, 即“是锐角”是“”充分不必要条件. 故选：A 【考试题型2】与三角函数结合的逻辑关系 【例2】（2023年河北对口高考） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【考试题型3】与平面几何结合的逻辑关系 【例3】（2022年河北对口高考） “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解. 【详解】因为菱形是特殊的平行四边形. 所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立. 四边形是菱形四边形是平行四边形,成立. 所以为必要不充分条件. 故选:. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1、集合的基本概念与运算 集合表示：列举法、描述法。 集合关系：子集、真子集、相等。 特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 集合运算：交集、并集、补集（全集）。 2、充要条件的核心逻辑 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 集合包含法（重点！）： p 是 q 的充分条件 ⇔ P ⊆ Q p 是 q 的必要条件 ⇔ Q ⊆ P p 是 q 的充要条件 ⇔ P = Q （其中 P = {x | p(x)}, Q = {x | q(x)}） （二）、解题策略与技巧 集合问题 数轴法：解不等式型集合（尤其含参数） 步骤： ① 画数轴标边界； ② 讨论参数临界点； ③ 验证端点是否取等（易错点！） 充要条件问题 充要条件快速判定 口诀记忆： "前推后是充分，后推前是必要；双推等价是充要" （三）、易错点总结 集合运算 混淆子集与真子集：注意“子集”与“真子集”的区别，空集是任何集合的子集。 化简集合出现错误：化简由二次不等式、绝对值不等式组成的集合出现错误。 求并集时出现错误：把并集当作交集。 充要条件判断 逻辑方向混淆：混淆充分/必要方向的推理。 （四）、复习建议 专题训练侧重： 强化集合语言与数学表达的转换（如 "A∩B=∅" 等价于 "方程无公共解"）； 重点训练含参集合的讨论能力（占高考中档题分值）。 学生能力提升： 建立逻辑推理思维树：从定义出发，用集合工具可视化充要条件； 整理错题本：聚焦"空集遗漏"、"参数端点"、"逻辑方向反"三类高频错误。 真题演练方向： 近三年高考题中集合与充要条件的结合题（常以选择题前4题出现）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$